Tìm số phức z sao cho \(\left| z \right| = \left| {z - 2} \right|\) và một acgumen của \(z - 2\) bằng một acgumen của \(z + 2\) cộng với \({\pi \over 2}\)

Lời giải chi tiết

Cần tìm z sao cho \(\left| z \right| = \left| {z - 2} \right|\) chứng tỏ M biểu diễn z cách đều O và điểm A biểu diễn 2, tức là phần thực của z bằng 1.

\({{z - 2} \over {z + 2}} = {{\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2} \right)} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}} = {{z\overline z - 4 + 2\left( {z - \overline z} \right)} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}} = li\left( {l > 0} \right)\) khi và chỉ khi \(z\overline z - 4 = 0\) (tức là \(\left| z \right| = 2\)) và phần ảo của z phải dương.

Vậy điểm M biểu diễn z phải thuộc nửa đường tròn nằm phía trên trục thực, có tâm O, có bán kính bằng 2. Giao của nửa đường tròn đó với đường thẳng \(x = 1\) là điểm M biểu diễn điểm z cần tìm. Vậy số số đó là \(z = 1 + \sqrt 3 i\) (Về hình học: điều kiện một acgumen của \(z - 2\) bằng một acgumen \(z + 2\) cộng với \({\pi \over 2}\) có nghĩa là góc lượng giác tia đầu MA’, tia cuối MA (A’, A theo thứ tự biểu diễn -2 và 2) bằng \({\pi \over 2}\)) (h.4.10

Cách 2: Nếu viết \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) thì \(\left| z \right| = \left| {z - 2} \right| \Leftrightarrow x = 1\)

Khi đó \({{z - 2} \over {z + 2}} = {{1 + iy - 2} \over {1 + iy + 2}} = {{ - 1 + iy} \over {3 + iy}} = {{ - 3 + {y^2} + 4iy} \over {9 + {y^2}}} = li\) (l thực dương)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{y^2} = 3 \hfill \cr y > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = \sqrt 3 \)

Vậy \(z = 1 + \sqrt 3 i\)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Ôn tập chương IV. Số phức

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024