Câu 43 trang 59 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. M là trung điểm của cạnh bên SA, N là trung điểm của cạnh bên SC.

a) Xác định các thiết diện của hình chóp khi cắt bởi các mặt phẳng lần lượt qua M, N và song song với mp(SBD).

b) Gọi I, J là giao điểm của hai mặt phẳng nói trên với AC. Chứng minh rằng \(IJ = {1 \over 2}AC\).

Lời giải chi tiết

a) 

Giả sử (P) là mặt phẳng qua M và song song với mp(SBD) và E, F là giao điểm của (P) với các cạnh AB và AD. Khi đó, dễ thấy ME // SB, MF // SD và EF // BD. Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và song song với mp(SBD) là tam giác MEF.

Tương tự, thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua N và song song với mp(SBD) là tam giác NKH với NK // SB, NH // SD, KH // BD.

b) I, J lần lượt là giao điểm của hai mặt phẳng (MEF), (NKH) với AC cũng chính là giao điểm của EF, KH với AC. Do M là trung điểm của SA và ME // SB, MF // SD nên E, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Từ đó suy ra I là trung điểm của AO, (ở đây O là giao điểm của AC và BD).

Vậy \(IO = {1 \over 2}AO\)

Tương tự \({\rm{OJ}} = {1 \over 2}OC\). Vậy \({\rm{IJ}} = {1 \over 2}AC\)