Câu 4.39 trang 140 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sin 2x$     

Phương pháp giải:

 Lấy hai dãy số $({x_n})$ và $(x{'_n})$ với ${x_n} = n\pi ,x{'_n} = n\pi  + {\pi  \over 4}.$

Tìm $\lim {x_n},\lim x{'_n},\lim f({x_n}),\lim f(x{'_n}).$

Lời giải chi tiết:

Lấy hai dãy số $({x_n})$ và $(x{'_n})$

   ${x_n} = n\pi ,x{'_n} = n\pi  + {\pi  \over 4}$ (như trong hướng dẫn).

Khi đó $\lim {x_n} =  + \infty $  và $\lim x{'_n} =  + \infty $;

            $\lim f({x_n}) = limsin2{x_n} = \lim \sin 2n\pi  = 0$  và

            $\lim f(x{'_n}) = limsin2x{'_n} = \lim \sin \left( {2n\pi  + {\pi  \over 2}} \right) = 1.$

Vì $\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {x{'_n}} \right)$  nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sin 2x.$

Cách giải khác. Lấy dãy số $({x_n})$ với

                                    ${x_n} = {{n\pi } \over 2} + {\pi  \over 4},$

Ta có $\lim {x_n} =  + \infty $ và

$f\left( {{x_n}} \right) = \sin 2{x_n} = \sin \left( {n\pi + {\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{
1\text{ với n chẵn} \hfill \cr 
- 1\text{ với n lẻ} \hfill \cr} \right.$

Dãy số $\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\sin 2{x_n}} \right)$ không có giới hạn. Do đó không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sin 2x.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \cos 3x$

Lời giải chi tiết:

Làm tương tự như câu a) không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \cos 3x$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}$         

Phương pháp giải:

 Chọn dãy số $({x_n})$ sao cho ${1 \over {2{x_n}}} = n\pi \,hay\,{x_n} = {1 \over {2n\pi }}$ Tìm $\lim {x_n}$ và $\lim f({x_n}).$

Lời giải chi tiết:

 Chọn dãy $({x_n})$ sao cho 
                        ${1 \over {2{x_n}}} = n\pi  \Leftrightarrow {x_n} = {1 \over {2n\pi }}.$     

Khi đó $\lim {x_n} = 0$  và

$f\left( {{x_n}} \right) = \cos {1 \over {2{x_n}}} = \cos n\pi = \left\{ \matrix{
1\text{ với n chẵn}\hfill \cr 
- 1\text{ với n lẻ}  \hfill \cr} \right.$

Dãy số $\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \left( {\cos {1 \over {2{x_n}}}} \right)$  không có giới hạn. Do đó không tồn tại

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over {2x}}$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.$

Lời giải chi tiết:

 Tương tự câu c, không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin {2 \over x}.$