Đề bài
Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD với \(AB = a,AC = {{2{\rm{a}}\sqrt 6 } \over 3}\). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại giao điểm tại O của hai đường chéo hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ASC vuông.
b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = 4{{\rm{a}}^2},AC = {{2{\rm{a}}\sqrt 6 } \over 3}\)
nên \(B{{\rm{D}}^2} = {{4{{\rm{a}}^2}} \over 3} \Rightarrow O{B^2} = {{{a^2}} \over 3}\)
Xét tam giác vuông SOB, ta có
\(S{O^2} = S{B^2} - O{B^2} = {{2{{\rm{a}}^2}} \over 3} \Rightarrow SO = {{a\sqrt 6 } \over 3}\)
Vậy tam giác SAC có trung tuyến SO bằng nửa AC nên SAC là tam giác vuông tại S.
b) Trong mặt phẳng (SOA) kẻ OA1 vuông góc với SA thì \(SA \bot mp\left( {{A_1}B{\rm{D}}} \right)\), từ đó \(\widehat {B{A_1}D}\) hoặc \({180^0} - \widehat {B{A_1}D}\), là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).
Ta có
\(\eqalign{ & O{A_1} = {{OA.OS} \over {SA}} = {{OA.OS} \over {\sqrt {O{A^2} + O{S^2}} }} \cr & = {1 \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 3}.\sqrt 2 = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)
Mặt khác \(B{\rm{D}} = {{2a\sqrt 3 } \over 3}\), từ đó \(\widehat {B{A_1}D} = {90^0}\) hay hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
Chuyên đề 1. Một số vấn đề về khu vực Đông Nam Á
Chuyên đề 2: Tìm hiểu ngôn ngữ trong đời sống xã hội hiện nay
Chủ đề 6: Kĩ thuật thủ môn
Chuyên đề 2: Trải nghiệm, thực hành hóa học hữu cơ
Chương 1: Cân bằng hóa học
SGK Toán Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11