Câu 5 trang 121 SGK Hình học 11

Đề bài

Tứ diện \(ABCD\) có hai mặt \(ABC\) và \(ADC\) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a, AC = b\). Tam giác \(ADC\) vuông tại \(D\) có \(CD = a\).

a) Chứng minh các tam giác \(BAD\) và \(BDC\) đều là tam giác vuông

b) Gọi \(I\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Chứng minh \(IK\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(BA \bot \left( {ACD} \right);\,\,CD \bot \left( {ABD} \right)\).

b) Gọi J là trung điểm của AC, chứng minh \(AD \bot \left( {IJK} \right) \Rightarrow IK \bot AD\).

Chứng minh tam giác \(IBC\) cân tại I \( \Rightarrow IK \bot BC\).

Lời giải chi tiết

a) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {ABC} \right) \bot \left( {ADC} \right)\\
\left( {ABC} \right) \cap \left( {ADC} \right) = AC\\
\left( {ABC} \right) \supset AB \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow BA \bot \left( {ADC} \right)\)

\( \Rightarrow BA \bot AD \Rightarrow \Delta BAD\) vuông tại A.

\(\left\{ \begin{array}{l}
BA \bot \left( {ADC} \right) \Rightarrow CD \bot BA\\
CD \bot AD
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {BAD} \right)\)

\( \Rightarrow CD \bot DB \Rightarrow \Delta BDC\) vuông tại D.

b) Gọi \(J\) là trung điểm của \(AC\Rightarrow KJ//BA\) (đường trung bình của \(\Delta ABC\))

Mà \(BA⊥(ADC) ⇒ KJ ⊥(ADC)\) \(⇒ KJ ⊥ AD\)      (1)

Ta cũng có \(IJ//DC\) (đường trung bình của \(\Delta ADC\) )

Mà \(DC⊥ AD\) \( ⇒ IJ ⊥ AD\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AD⊥(KIJ)⇒ AD ⊥ IK\,\,\,(3)\)

Ta lại có: \(ΔBAI = ΔCDI  (c.g.c)⇒ IB = IC\)

\(⇒ ΔBIC\) cân đỉnh \(I ⇒ IK ⊥ BC\)   (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(IK\) là đoạn vuông góc chung của \(AD\) và \(BC\).