Bài 5 trang 26 SGK Hình học lớp 12

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\) và \(AB = a\). Trên đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = a\). Mặt phẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\), cắt \(BD\) tại \(F\) và cắt \(AD\) tại \(E\). Tính thể tích khối tứ diện \(CDEF\) theo \(a\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(BD \bot (CEF)\) hay \(DF \bot (CEF)\)do đó ta đã biết chiều cao của tứ diện \(DCEF.\)

Để tính thể tích tứ diện này, ta đi tính diện tích đáy tương ứng là \({S_{\Delta EFC}}\)

Dễ thấy: \(\Delta EFC\) vuông tại \(E,\) vì:

\(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot DA\\CE \bot BD\;(do\;BD \bot (CEF))\end{array} \right. \Rightarrow CE \bot (BDA) \supset EF \Rightarrow CE \bot EF.\)

Vậy ta đi tính các cạnh \(CE, EF.\)

+) Tính \(CE\)

Do \(DC \bot (ABC)\) nên \(\Delta ACD\) vuông cân tại \(C.\)

\( \Rightarrow \) Chiều cao \(CE = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

+) Tính \(EF\):

Xét vuông tại \(C\), ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}DC = AC = a\\BC = AB.\sqrt 2  = a\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow BD = a\sqrt 3 \\ \text {Mà:}\;CF.BD = DC.BC\\ \Rightarrow CF = \dfrac{{DC.BC}}{{BD}} = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\\ \Rightarrow EF = \sqrt {C{F^2} - C{E^2}}  = \sqrt {\dfrac{{2a}}{3} - \dfrac{a}{2}}  = \dfrac{a}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\end{array}\)

Vậy \({S_{\Delta EFC}} = \dfrac{1}{2}CE.EF = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt[{}]{2}}}.\dfrac{a}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{{a^2}}}{{4\sqrt 3 }} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)

+) Chiều cao \(DF\)

\(DF = \sqrt {D{C^2} - C{F^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{2{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \) \(= \dfrac{1}{3}. \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}\)