Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(A\) và \(AB = a\). Trên đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = a\). Mặt phẳng qua \(C\) vuông góc với \(BD\), cắt \(BD\) tại \(F\) và cắt \(AD\) tại \(E\). Tính thể tích khối tứ diện \(CDEF\) theo \(a\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Dựng các điểm \(F\) và \(E.\)
Bước 2: Tìm chiều cao và đáy tương ứng: \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \)
Bước 3: Chứng minh tam giác \(CEF\) vuông tại \(E \Rightarrow {S_{CEF}} = \dfrac{1}{2}EF.EC\)
Suy ra \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.\dfrac{1}{2}EF.EC \)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(BD \bot (CEF)\) hay \(DF \bot (CEF)\)do đó ta đã biết chiều cao của tứ diện \(DCEF.\)
Để tính thể tích tứ diện này, ta đi tính diện tích đáy tương ứng là \({S_{\Delta EFC}}\)
Dễ thấy: \(\Delta EFC\) vuông tại \(E,\) vì:
\(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot DA\\CE \bot BD\;(do\;BD \bot (CEF))\end{array} \right. \Rightarrow CE \bot (BDA) \supset EF \Rightarrow CE \bot EF.\)
Vậy ta đi tính các cạnh \(CE, EF.\)
+) Tính \(CE\)
Do \(DC \bot (ABC)\) nên \(\Delta ACD\) vuông cân tại \(C.\)
\( \Rightarrow \) Chiều cao \(CE = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)
+) Tính \(EF\):
Xét vuông tại \(C\), ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}DC = AC = a\\BC = AB.\sqrt 2 = a\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow BD = a\sqrt 3 \\ \text {Mà:}\;CF.BD = DC.BC\\ \Rightarrow CF = \dfrac{{DC.BC}}{{BD}} = \dfrac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\\ \Rightarrow EF = \sqrt {C{F^2} - C{E^2}} = \sqrt {\dfrac{{2a}}{3} - \dfrac{a}{2}} = \dfrac{a}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\end{array}\)
Vậy \({S_{\Delta EFC}} = \dfrac{1}{2}CE.EF = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt[{}]{2}}}.\dfrac{a}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{{a^2}}}{{4\sqrt 3 }} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)
+) Chiều cao \(DF\)
\(DF = \sqrt {D{C^2} - C{F^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{2{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy \({V_{CDEF}} = \dfrac{1}{3}DF.{S_{CEF}} \) \(= \dfrac{1}{3}. \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}\)
Bài 10. Thiên nhiên nhiệt đới ẩm gió mùa (tiếp theo)
Đề kiểm tra học kì 1
Bài giảng ôn luyện kiến thức giữa học kì 1 môn Hóa học lớp 12
Nghị luận xã hội lớp 12
Chương 1. Este - Lipit
Quên mật khẩu ?
Hoặc đăng nhập với
Điểm cần để chuộc tội: 0
Bé Cà đang rất bực vì quỹ điểm của bạn đã đạt ngưỡng báo động. Bé Cà đã tắt quyền đặt câu hỏi của bạn. Mau kiếm bù điểm chuộc lỗi với bé Cà
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
Để nhận quà tặng voucher bạn cần hoàn thành một nhiệm vụ sau