Câu 51 trang 60 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh bằng a. Các điểm M, N lần lượt nằm trên AD’, DB sao cho AM = DN = x\(\left( {0 < x < a\sqrt 2 } \right)\).

a) Chứng minh rằng khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Chứng minh rằng khi \(x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\) thì MN // A’C.

Lời giải chi tiết

(h.104)

a) Sử dụng định lí Ta-lét

Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và song song với mp(A’D’CB) (có (P) vì AD // A’D’).

Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và song song với mp(A’D’CB. Giả sử (Q) cắt DB tại N’.

Theo định lí Ta-lét ta có:

\({{AM} \over {AD'}} = {{DN'} \over {DB}}\,\,\,\,(*)\)

Vì các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên:

\(AD' = DB = a\sqrt 2 \)

Từ (*), ta có AM = DN’

\( \Rightarrow \) DN’ = DN

\( \Rightarrow \) N’ \( \equiv \) N

\( \Rightarrow \) MN \( \subset \) (Q)

Mà (Q) // (A’D’CB) suy ra MN luôn song song với mặt phẳng cố định (A’D’CB)

Sử dụng định lí Ta-lét đảo.

Từ giả thiết ta có: \({{AM} \over {DN}} = {{MD'} \over {NB}} = {{AD'} \over {DB}}\)

Suy ra AD, MN và D’B luôn song song với một mặt phẳng (định lí Ta-lét đảo). Vậy MN luôn song song với một mặt phẳng (P), mà (P) song song với AD và D’B. Có thể chọn mặt phẳng này chính là mp(A’D’CB).

b) Gọi O là giao điểm của DB và AC. Ta có

\(DN = x = {{a\sqrt 2 } \over 3},DO = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

\( \Rightarrow DN = {2 \over 3}DO\)

Suy ra N là trọng tâm tam giác ADC

Chứng minh tương tự, ta có M là trọng tâm tam giác A’AD. Vậy CN và A’M cắt nhau tại I là trung điểm của AD. Ta có:

\({{IM} \over {IA'}} = {{IN} \over {IC}} = {1 \over 3} \Rightarrow MN//A'C\)