Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh bằng a. Các điểm M, N lần lượt nằm trên AD’, DB sao cho AM = DN = x\(\left( {0 < x < a\sqrt 2 } \right)\).

a) Chứng minh rằng khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Chứng minh rằng khi \(x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\) thì MN // A’C.

Lời giải chi tiết

(h.104)

a) Sử dụng định lí Ta-lét

Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và song song với mp(A’D’CB) (có (P) vì AD // A’D’).

Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và song song với mp(A’D’CB. Giả sử (Q) cắt DB tại N’.

Theo định lí Ta-lét ta có:

\({{AM} \over {AD'}} = {{DN'} \over {DB}}\,\,\,\,(*)\)

Vì các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên:

\(AD' = DB = a\sqrt 2 \)

Từ (*), ta có AM = DN’

\( \Rightarrow \) DN’ = DN

\( \Rightarrow \) N’ \( \equiv \) N

\( \Rightarrow \) MN \( \subset \) (Q)

Mà (Q) // (A’D’CB) suy ra MN luôn song song với mặt phẳng cố định (A’D’CB)

Sử dụng định lí Ta-lét đảo.

Từ giả thiết ta có: \({{AM} \over {DN}} = {{MD'} \over {NB}} = {{AD'} \over {DB}}\)

Suy ra AD, MN và D’B luôn song song với một mặt phẳng (định lí Ta-lét đảo). Vậy MN luôn song song với một mặt phẳng (P), mà (P) song song với AD và D’B. Có thể chọn mặt phẳng này chính là mp(A’D’CB).

b) Gọi O là giao điểm của DB và AC. Ta có

\(DN = x = {{a\sqrt 2 } \over 3},DO = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

\( \Rightarrow DN = {2 \over 3}DO\)

Suy ra N là trọng tâm tam giác ADC

Chứng minh tương tự, ta có M là trọng tâm tam giác A’AD. Vậy CN và A’M cắt nhau tại I là trung điểm của AD. Ta có:

\({{IM} \over {IA'}} = {{IN} \over {IC}} = {1 \over 3} \Rightarrow MN//A'C\)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 5. Phép chiếu song song

Ôn tập chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024