Bài 54 trang 14 SBT Hình Học 11 Nâng cao

LG a

F là một phép tịnh tiến nếu k1k2 = 1. Hãy xác định vec tơ tịnh tiến.

Lời giải chi tiết:

Lấy một điểm M bất kỳ, nếu V1 biến M thành M1 và V2 biến M1 thành M2 thì \(\overrightarrow {{O_1}{M_1}}  = {k_1}\overrightarrow {{O_1}M} \) và \(\overrightarrow {{O_2}{M_2}}  = {k_2}\overrightarrow {{O_2}{M_1}} \).

Khi đó, phép hợp thành F biến M thành M2. Gọi I là ảnh của O1 qua phép vị tự V2, tức là \(\overrightarrow {{O_2}I}  = {k_2}\overrightarrow {{O_2}{O_1}} \).

Khi đó \(\overrightarrow {I{M_2}}  = {k_2}\overrightarrow {{O_1}{M_1}}  = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_1}M} \).

(h.33)

Nếu k1k2 = 1 thì \(\overrightarrow {I{M_2}}  = \overrightarrow {{O_1}M} \) nên \(\overrightarrow {M{M_2}}  = \overrightarrow {{O_1}I}  = \overrightarrow {{O_1}{O_2}}  + \overrightarrow {{O_2}I}  = \left( {1 - {k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \).

Vậy trong trường hợp này F là phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {1 - {k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \).

LG b

F là một phép vị tự nếu k1k2 1. Hãy xác định tâm và tỉ số của phép vị tự đó.

Lời giải chi tiết:

Nếu k1k2 \(\ne\) 1 ta chọn điểm O3 sao cho \(\overrightarrow {{O_3}I}  = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \)

Khi đó \(\overrightarrow {{O_3}{M_2}}  = \overrightarrow {{O_3}I}  + \overrightarrow {I{M_2}} \)

\( = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}}  + {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_1}M} \)

\( = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}M} \)

Vậy F là phép vị tự tâm O3 tỉ số \({k_1}{k_2}\).

Chú ý rằng tâm O3 của phép vị tự đó được xác định bởi đẳng thức:

\(\overrightarrow {{O_3}I}  = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \)

Hay \(\overrightarrow {{O_3}{O_1}}  + \overrightarrow {{O_1}{O_2}}  + \overrightarrow {{O_2}I}  = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \).

Suy ra: \(\overrightarrow {{O_1}{O_2}}  + {k_2}\overrightarrow {{O_2}{O_1}}  = \left( {1 - {k_1}{k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_3}} \).

Do đó: \(\overrightarrow {{O_1}{O_3}}  = {{1 - {k_2}} \over {1 - {k_1}{k_2}}}\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \).

Cũng chú ý rằng tâm của ba phép vị tự V1, V2 và F là ba điểm thẳng hàng O1, O2 và O3.