Câu 5.44 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Tìm a để tồn tại hàm số:

\(f\left( x \right) = 4{x^3} - 6{x^2}\cos 2a + 3x\sin 2a\sin 6a\)

\(+ \sqrt {2a - 1 - {a^2}} \) (a là hằng số)

Với giá trị của số a đó, hãy xét dấu của \(f'\left( {{1 \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết

Ta nhận thấy

                        \(2a - 1 - {a^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow a = 1\)

Vậy :

\( \bullet \) Khi \(a \ne 1\) thì không tồn tại hàm số \(f\left( x \right)\) với bất kì \(x \in R\), do đó không tồn tại \(f'\left( {{1 \over 2}} \right).\)

\( \bullet \) Khi \(a = 1\) thì tồn tại hàm số \(f\left( x \right)\) xác định với mọi \(x \in R\) và

            \(f\left( x \right) = 4{x^3} - 6{x^2}\cos 2 + 3x\sin 2\sin 6\)

Ta có   \(f'\left( x \right) = 12{x^2} - 12\cos 2 + 3x\sin 2\sin 6\)

\(f'\left( {{1 \over 2}} \right) = 3 - 6\cos 2 + 3\sin 2\sin 6\)

              \(= 3\left( {1 - 2\cos 2 + \sin 2\sin 6} \right)\)

Vì \({\pi  \over 2} < 2 < \pi \) nên \(\cos 2 < 0\), suy ra

\(1 - 2\cos 2 > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(\left| {\sin 2\sin 6} \right| \le 1,\)  suy ra

\(\sin 2\sin 6 \ge  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra

\(1 - 2\cos 2 + \sin 2\sin 6 > 0 \Leftrightarrow f'\left( {{1 \over 2}} \right) > 0\)