Đề bài
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d’\). Đoạn thẳng \(AB\) có độ dài \(a\) trượt trên \(d\), đoạn thẳng \(CD\) có độ dài \(b\) trượt trên \(d’\). Chứng minh rằng khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích không đổi.
Lời giải chi tiết
Gọi \(h\) là độ dài đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\), \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d’\). Qua \(B, A, C\) dựng hình bình hành \(BACF\). Qua \(A,C, D\) dựng hình bình hành \(ACDE\).
Khi đó \(CFD.ABE\) là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:
\[\begin{array}{l}
{V_{D.ABE}} + {V_{D.BACF}} = {V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABE}} = \dfrac{1}{3}{V_{CFD.ABE}} \Rightarrow {V_{D.BACF}} = \dfrac{2}{3}{V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{2}{V_{D.BACF}} \Rightarrow {V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{V_{CFD.ABE}} = \dfrac{1}{3}{V_{CFD.ABE}}
\end{array}\]
Kẻ \(AH \bot \left( {CDF} \right)\) ta có: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.V_{CFD.ABE} = \dfrac{1}{3}.AH.{S_{CDF}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}AB//CF \Rightarrow AB//\left( {CDF} \right) \supset CD\\\Rightarrow d\left( {d;d'} \right) = d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDF} \right)} \right) \end{array}\)
\(= d\left( {A;\left( {CDF}\right)} \right) = AH = h\)
\(AB//CF \Rightarrow \widehat {\left( {d;d'} \right)} = \widehat {\left( {AB;CD} \right)} = \widehat {\left( {CF;CD} \right)} = \widehat {DCF} = \alpha \)
\( \Rightarrow {S_{CDF}} = \dfrac{1}{2}.CD.CF.\sin \widehat {DCF} = \dfrac{1}{2}ab\sin \alpha \)
Vậy \(V_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.h.\dfrac{1}{2}ab\sin \alpha =\dfrac{1}{6}.h. ab. sinα = const\). (đpcm)
GIẢI TÍCH SBT - TOÁN 12
Unit 5: Higher Education - Giáo Dục Đại Học
CHƯƠNG 1. ESTE - LIPIT
CHƯƠNG IV. DAO ĐỘNG VÀ SÓNG ĐIỆN TỪ
Bài 16. Đặc điểm dân số và phân bố dân cư ở nước ta