Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy các điểm \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, BB’, CC’ sao cho \({{A{A_1}} \over {AA'}} = {{B'{B_1}} \over {BB'}} = {{C'{C_1}} \over {CC'}} = {3 \over 4}\). Trên các đoạn thẳng CA₁ và A’B₁ lần lượt lấy các điểm I, J sao cho IJ // B’C₁. Tính tỉ số \({{IJ} \over {B'{C_1}}}\) .

Lời giải chi tiết

Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c \). Theo giả thiết ta có:

\(\overrightarrow {A{A_1}}  = {3 \over 4}\overrightarrow a ,\overrightarrow {B'{B_1}}  =  - {3 \over 4}\overrightarrow a ,\overrightarrow {C'{C_1}}  =  - {3 \over 4}\overrightarrow a .\)

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {C{A_1}}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {A{A_1}}   \cr  &  = {3 \over 4}\overrightarrow a  - \overrightarrow c ;  \cr  & \overrightarrow {A'{B_1}}  = \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {B'{B_1}}   \cr  &  =  - {3 \over 4}\overrightarrow a  + \overrightarrow b ;  \cr  & \overrightarrow {B'{C_1}}  = \overrightarrow {B'A'}  + \overrightarrow {A'C'}  + \overrightarrow {C'{C_1}}   \cr  &  =  - {3 \over 4}\overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c  \cr} \)

Vì I thuộc CA₁ nên \(\overrightarrow {CI}  = t\overrightarrow {C{A_1}}  = {3 \over 4}t\overrightarrow a  - t\overrightarrow c .\)

Do J thuộc A’B₁ nên \(\overrightarrow {A'J}  = m\overrightarrow {A'{B_1}}  =  - {3 \over 4}m\overrightarrow a  + m\overrightarrow b \) .

Mặt khác

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {CA'}  + \overrightarrow {A'J}   \cr  &  =  - {3 \over 4}t\overrightarrow a  + t\overrightarrow c  + \overrightarrow a  - \overrightarrow c  - {3 \over 4}m\overrightarrow a  + m\overrightarrow b   \cr  &  = \left( {1 - {3 \over 4}t - {3 \over 4}m} \right)\overrightarrow a  + m\overrightarrow b  + \left( {t - 1} \right)\overrightarrow c  \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{  & IJ//B'{C_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {IJ}  = k\overrightarrow {B'{C_1}}   \cr  &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  1 - {3 \over 4}t - {3 \over 4}m =  - {3 \over 4}k \hfill \cr  m =  - k \hfill \cr  t - 1 = k \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Suy ra

\(\eqalign{  & 1 - {3 \over 4}\left( {k + 1} \right) + {3 \over 4}k =  - {3 \over 4}k  \cr  &  \Leftrightarrow {1 \over 4} + {3 \over 4}k = 0 \Leftrightarrow k =  - {1 \over 3}  \cr  &  \Rightarrow t = {2 \over 3},m = {1 \over 3}. \cr} \)

Vậy điểm I thuộc A₁C được xác định bởi \(\overrightarrow {CI}  = {2 \over 3}\overrightarrow {C{A_1}} \) và J thuộc A’B₁ được xác định \(\overrightarrow {A'J}  = {1 \over 3}\overrightarrow {A'{B_1}} \).

Khi đó, ta có \({{IJ} \over {B'{C_1}}} = {1 \over 3}.\)