Bài 1, 2. Mở đầu về phép biến hình. Phép tịnh tiến và phép dời hình
Bài 3. Phép đối xứng trục
Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm
Bài 5. Hai hình bằng nhau
Bài 6, 7. Phép vị tự. Phép đồng dạng
Ôn tập chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng
Bài tập trắc nghiệm chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng
Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
Bài 2, 3, 4. Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc
Bài 5. Khoảng cách
Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Bài tập trắc nghiệm chương III. Vecto trong không gian. Quan hệ vuông góc
Đề bài
Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính độ dài MN.
b) Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD.
Lời giải chi tiết
Đặt \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \) .
Khi đó, ta có:
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow c .\overrightarrow a = {1 \over 2}{m^2}\) và \({\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = {\overrightarrow c ^2} = {m^2}\)
a) Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên
\(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} } \right)\)
hay \(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow c - b} \right)\)
Vậy
Tức là \(MN = {{m\sqrt 2 } \over 2}\)
b) Ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow c - \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b \cr & = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow c - {{\overrightarrow b }^2}} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {{{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} - {m^2}} \right) = 0 \cr} \)
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và AB bằng 90°
Ta có:
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và CD bằng 90°.
Ta có :
Tức là:
\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {1 \over 2}{m^2}\)
Từ đó \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {{{{{m^2}} \over 2}} \over {m.{{m\sqrt 2 } \over 2}}} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°.
Chủ đề 5. Phát triển cộng đồng
Chủ đề 3. Quá trình giành độc lập dân tộc của các quốc gia Đông Nam Á
CHƯƠNG IV. TỪ TRƯỜNG
Chương 2: Sóng
Projects 1-4: Presentation/Performance
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SGK Toán 11 - Cánh Diều
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán Lớp 11