Câu 8 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính độ dài MN.

b) Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD.

Lời giải chi tiết

 

Đặt \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c \) .

Khi đó, ta có:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow b .\overrightarrow c  = \overrightarrow c .\overrightarrow a  = {1 \over 2}{m^2}\)  và \({\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = {\overrightarrow c ^2} = {m^2}\)

a) Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên

\(\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}}  + \overrightarrow {BC} } \right)\)

hay \(\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow c  - b} \right)\)

Vậy

Tức là \(MN = {{m\sqrt 2 } \over 2}\)

b) Ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow c  - \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b   \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow b .\overrightarrow c  - {{\overrightarrow b }^2}} \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {{{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} - {m^2}} \right) = 0 \cr} \)

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và AB bằng 90°

Ta có:

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và CD bằng 90°.

Ta có :

Tức là:

\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {1 \over 2}{m^2}\)

Từ đó \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {{{{{m^2}} \over 2}} \over {m.{{m\sqrt 2 } \over 2}}} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°.

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved