Đề bài
Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.
Lời giải chi tiết
_ Các bước của phương pháp chứng minh quy nạp:
+ B1: Chứng minh bài toán đúng với \(n = 1\)
+ B2: Giả thiết bài toán đúng với \(n = k\) (gọi là giả thiết quy nạp)
+ B3. Chứng minh bài toán đúng với \(n = k + 1\)
Khi đó kết luận bài toán đúng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)
_ Ví dụ: Chứng minh rằng: với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) ta có:
\({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = {{n(n + 1)(2n + 1)} \over 6}(1)\)
Giải
_ Khi \(n = 1\) thì (1) trở thành \({1^2} = {{1(1 + 1)(2 + 1)} \over 6}\) đúng.
_ Giả sử (1) đúng khi \(n = k\), tức là:
\({1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {k^2} = {{k(k + 1)(2k + 1)} \over 6}\)
_ Ta chứng minh (1) đúng khi \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh:
\({1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {(k + 1)^2} = {{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)} \over 6}\)
_ Thật vậy :
\(\eqalign{
& {1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {k^2} + {(k + 1)^2} \cr
& = {{k(k + 1)(2k + 1)} \over 6} + {(k + 1)^2} \cr&= {{(k + 1)k(2k + 1) + 6(k + 1)} \over 6} \cr
& = {{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)} \over 6} \cr&= {{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)} \over 6} \cr} \)
Vậy (1) đúng khi \(n = k + 1\).
Kết luận: (1) đúng với \(n\in {\mathbb N}^*\)
Phần 1. Một số vấn đề về kinh tế - xã hội thế giới
Unit 15: Space Conquest - Cuộc chinh phục không gian
Chương 2: Sóng
Unit 10: Nature In Danger - Thiên nhiên đang lâm nguy
Phần 2. Địa lí khu vực và quốc gia
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11