Cho hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B cố định với \(AB = a\sqrt 2 \) (a là độ dài cho trước). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với ∆ và ở trong (P) lấy điểm M khác A. Đặt AM = m. Trên nửa đường thẳng By vuông góc với ∆ và trong (Q) lấy điểm N sao cho \(BN = {{{a^2}} \over m}\).

a) Chứng minh các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.

b) Với giá trị nào của m thì MN có độ dài bé nhất? Tính giá trị đó.

c) Chứng minh rằng chân mỗi đường cao của tứ diện đó xuất phát từ A và B nằm trên đường tròn cố định khi M thay đổi.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right),\left( P \right) \cap \left( Q \right) = AB,\)

\(M \in \left( P \right),MA \bot AB\) nên \(MA \bot \left( Q \right)\). Do đó MAB, MAN là các tam giác vuông tại A.

Tương tự như trên, các tam giác MBN, ABN vuông tại B.

b) Vì

\(\eqalign{ & M{N^2} = M{A^2} + A{B^2} + B{N^2} \cr & = {m^2} + 2{a^2} + {{{a^4}} \over {{m^2}}} \cr} \)

Từ đó MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi \({m^2} + {{{a^4}} \over {{m^2}}}\) bé nhất.

Mặt khác \({m^2}.{{{a^4}} \over {{m^2}}} = {a^4}\).

Vậy MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi:

\({m^2} = {{{a^4}} \over {{m^2}}} \Leftrightarrow m = a\).

c) Vì \(\left( {MAB} \right) \bot \left( {NMB} \right)\) nên khi kẻ AA₁ vuông góc với BM tại A₁ thì \(A{A_1} \bot \left( {BMN} \right)\), tức A₁ là chân đường cao của tứ diện ABMN kẻ từ đỉnh A.

Như vậy A₁ thuộc (P) và \(\widehat {B{A_1}A} = {90^0}\), từ đó A₁ thuộc đường tròn đường kính AB trong (P). Đường tròn này cố định.

Tương tự như trên, chân đường cao B₁kẻ từ đỉnh B của tứ diện ABMN cũng thuộc đường tròn đường kính AB nằm trong mặt phẳng (Q).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài tập trắc nghiệm chương III. Vecto trong không gian. Quan hệ vuông góc

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024