Câu 9 trang 177 SGK Đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho hai hàm số: \(y = {1 \over {x\sqrt 2 }};y = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }}\) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.

Lời giải chi tiết

\({C_1}:y = f(x) = {1 \over {x\sqrt 2 }} \Rightarrow f'(x) =  - {1 \over {{x^2}\sqrt 2 }}\)

\({C_2}:y = g(x) = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow g'(x) = {{2x} \over {\sqrt 2 }} = x\sqrt 2 \)

Phương trình hoành độ giao điểm của \({C_1}\) và \({C_2}\) là:

\({1 \over {x\sqrt 2 }} = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne 0 \hfill \cr
{x^3} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = {1 \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

Vậy giao điểm của \({C_1}\) và \({C_2}\) là \(A(1,{{\sqrt 2 } \over 2})\)

+) Phương trình tiếp tuyến của \({C_1}\) tại điểm A là:

\(\eqalign{
& y - {{\sqrt 2 } \over 2} = f'(1)(x - 1) \cr&\Leftrightarrow y - {{\sqrt 2 } \over 2} = - {1 \over {\sqrt 2 }}(x - 1) \cr
& \Leftrightarrow y = - {x \over {\sqrt 2 }} + \sqrt 2 \cr} \)

Tiếp tuyến này có hệ số góc \(k_1= {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}\)

+) Phương trình tiếp tuyến của \({C_2}\) tại điểm \(A\) là:

\(\eqalign{
& y - {{\sqrt 2 } \over 2} = g'(1)(x - 1) \Leftrightarrow y - {{\sqrt 2 } \over 2} = \sqrt 2 (x - 1) \cr
& \Leftrightarrow y = x\sqrt 2 - {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

Tiếp tuyến này có hệ số góc \(k_2= \sqrt 2\)

+) Ta có: \({k_1}.{k_2} = ( - {1 \over {\sqrt 2 }})(\sqrt 2 ) =  - 1\)

⇒ Hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau

⇒ góc giữa hai tiếp tuyến bằng \(90^0\).