Câu hỏi 12 - Mục Bài tập trang 42

1. Nội dung câu hỏi

$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác.


3. Lời giải chi tiết
$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$

$\iff [\begin{array}{c}\begin{array}{c}2x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})\iff [\begin{array}{c}\begin{array}{c}2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{array} (k\in \mathbb{Z})\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k\pi \end{array} (k\in \mathbb{Z})\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ và $x=\frac{3\pi }{4}+k\pi$ với  $k\in \mathbb{Z}$.

1. Nội dung câu hỏi

$\cos \left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác.

3. Lời giải chi tiết
$\begin{aligned} & \cos \left(\frac{3 x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left(\frac{3 x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\cos \frac{\pi}{3} \\ & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\frac{3 x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi \\ \frac{3 x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{-\pi}{3}+k 2 \pi\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right. \\ & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{18}+\frac{k 4 \pi}{3} \\ x=\frac{-7 \pi}{18}+\frac{k 4 \pi}{3}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\end{aligned}$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{18}+k\frac{4\pi }{3}$và $x=-\frac{7\pi }{18}+k\frac{4\pi }{3}$ với $k\in \mathbb{Z}$.

1. Nội dung câu hỏi

$\sin 3x-\cos 5x=0$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác.

3. Lời giải chi tiết

$\begin{aligned} & \sin 3 x-\cos 5 x=0 \Leftrightarrow \sin 3 x=\cos 5 x \Leftrightarrow \cos 5 x=\cos \left(\frac{\pi}{2}-3 x\right) \\ & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}5 x=\frac{\pi}{2}-3 x+k 2 \pi \\ 5 x=-\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)+k 2 \pi\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}8 x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \\ 2 x=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}\right.\right. \\ & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{16}+\frac{k \pi}{4} \\ x=-\frac{\pi}{4}+k \pi\end{array}\right.\end{aligned}$

1. Nội dung câu hỏi

${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác.

3. Lời giải chi tiết
$\begin{aligned} & \cos ^2 x=\frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1+\cos 2 x}{2}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow \cos 2 x=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2 x=\cos \frac{2 \pi}{3} \\ & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 \mathrm{x}=\frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi \\ 2 \mathrm{x}=-\frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{\pi}{3}+\mathrm{k} \pi \\ \mathrm{x}=-\frac{\pi}{3}+\mathrm{k} \pi\end{array}(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\right.\right.\end{aligned}$

1. Nội dung câu hỏi

$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác.

3. Lời giải chi tiết

$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$ $\iff \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=0$

$\iff \cos \frac{\pi }{3}·\sin x-\sin \frac{\pi }{3}·\cos x=0$

$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin 0$

$$\begin{gathered} \iff x-\frac{\pi }{3}=k\pi ;k\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ \iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi ;k\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

1. Nội dung câu hỏi

$\sin x+\cos x=0$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác.

3. Lời giải chi tiết
$\sin x+\cos x=0\iff \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=0$

$\iff \cos \frac{\pi }{4}·\sin x+\sin \frac{\pi }{4}·\cos x=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0$

$$\begin{gathered} \iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin 0 \\ \iff x+\frac{\pi }{4}=k\pi ;k\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$