Câu hỏi 12 - Mục Bài tập trang 59

1. Nội dung câu hỏi

Tính độ dài các đoạn thẳng $M N$ và $E F$.

2. Phương pháp giải

Định lí Thales

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Hệ quả của định lí Thales

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

3. Lời giải chi tiết

Vì $A K=K I=I H \Rightarrow A K=\frac{1}{3} A H ; A I=\frac{2}{3} A H$.
Vì $E F / / B C \Rightarrow E K / / B H ; M N / / B C \Rightarrow M I / / B H$
Xét tam giác $A B H$ ta có $E K / / B H$, theo định lí Thales ta có:
$\frac{AE}{AB}=\frac{AK}{AH}=\frac{1}{3}$

Xét tam giác $A B H$ ta có $M I / / B H$, theo định lí Thales ta có:
$\frac{AM}{AB}=\frac{AI}{AH}=\frac{2}{3}$

Xét tam giác $A B C$ ta có $E F / / B C$, theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{EF}{30}=\frac{1}{3}\Rightarrow EF=\frac{30.1}{3}=10$

Xét tam giác $A B C$ ta có $M N / / B C$, theo hệ quả của định lí Thales ta có:
$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{MN}{30}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=\frac{30.2}{3}=20$

Vậy $E F=10 \mathrm{~cm} ; M N=20 \mathrm{~cm}$.

1. Nội dung câu hỏi

Tính diện tích tứ giác $M N F E$ biết rằng diện tích tam giác $A B C$ là $10,8 \mathrm{dm}^2$.

2. Phương pháp giải

Định lí Thales

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Hệ quả của định lí Thales

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

3. Lời giải chi tiết

Đổi $10,8 \mathrm{dm}^2=1080 \mathrm{~cm}^2$

Diện tích tam giác $A B C$ là:
$$
\begin{aligned}
& S_{A B C}=\frac{1}{2} A H . B C=\frac{1}{2} A H \cdot 30=1080\left(\mathrm{~cm}^2\right) \\
& \Rightarrow A H=1080.2: 30=72 \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$

Ta có: $A H \perp B C \Rightarrow A H \perp M N$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Do đó, $K I \perp M N$
Mà $K I=\frac{1}{3} A H \Rightarrow K I=\frac{1}{3} .72=24 \mathrm{~cm}$
Tứ giác $M N F E$ có $M N / / E F$ (cùng song song với $B C$ ) nên tứ giác $M N F E$ là hình thang.

Lại có: $K I \perp M N \Rightarrow K I$ là đường cao của hình thang.
Diện tích hình thang $M N F E$ là:
$$
\begin{aligned}
& S_{M N F E}=\frac{1}{2}(E F+M N) \cdot K I=\frac{1}{2} \cdot(10+20) \cdot 24 \\
& =360\left(\mathrm{~cm}^2\right)
\end{aligned}
$$

Vậy diện tích tứ giác $M N F E$ là $360 \mathrm{~cm}^2$.