Câu hỏi 13 - Mục Bài tập trang 42

1. Nội dung câu hỏi

15 m;

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình hàm số cos.

3. Lời giải chi tiết
Để độ sâu của mực nước là 15m thì:
$$\begin{gathered} \mathrm{h}=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=15\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=1 \\ \iff \frac{\pi t}{6}+1=k2\pi (k\in \mathrm{\mathbb{Z}})\iff t=-\frac{6}{\pi }+12k(k\in \mathrm{\mathbb{Z}}) \end{gathered}$$
Do $0\le \mathrm{t}<24$ nên $0\le -\frac{6}{\pi }+12k<24$
$\iff \frac{6}{\pi }\le 12k<24+\frac{6}{\pi }\iff \frac{1}{2\pi }\le k<2+\frac{1}{2\pi }$
Mà $\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $\mathrm{k}\in \{1;2\}$.
Với k = 1 thì $t=-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 10,09$ (giờ);
Với k=2 thì $t=-\frac{6}{\pi }+12.2\approx 22,09$ (giờ).
Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

1. Nội dung câu hỏi

9 m;

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình hàm số cos.

3. Lời giải chi tiết
Để độ sâu của mực nước là 9m thì:

$$\begin{gathered} \mathrm{h}=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=9\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-1 \\ \iff \frac{\pi t}{6}+1=\pi +k2\pi (k\in \mathrm{\mathbb{Z}})\iff t=6-\frac{6}{\pi }+12k(k\in \mathrm{\mathbb{Z}}) \end{gathered}$$
Do $0\le \mathrm{t}<24$ nên $0\le 6-\frac{6}{\pi }+12k<24$
$\iff -6+\frac{6}{\pi }\le 12k<18+\frac{6}{\pi }\iff -\frac{1}{2}+\frac{1}{2\pi }\le k<\frac{3}{2}+\frac{1}{2\pi }$
Mà $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $k\in \{0;1\}$.
Với k=0 thì $t=6-\frac{6}{\pi }+12.0\approx 4,09$ (giờ);
Với k=1 thì $t=6-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 16,09$ (giờ).
Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

1. Nội dung câu hỏi

10,5 m;

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình hàm số cos.

3. Lời giải chi tiết
Để độ sâu của mực nước là 10,5m thì:

$h=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10,5\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}\frac{\pi t}{6}+1=\frac{2\pi }{3}+\mathrm{k}2\pi \\ \frac{\pi \mathrm{t}}{6}+1=-\frac{2\pi }{3}+\mathrm{k}2\pi \end{array}(\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}})\right.$
$\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{t}=4-\frac{6}{\pi }+12\mathrm{k} \left(1\right)\\ \mathrm{t}=-4-\frac{6}{\pi }+12\mathrm{k}\left(2\right)\end{array}(\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}})\right.$

- Do $0\le \mathrm{t}<24$ nên từ (1) ta có: $0\le 4-\frac{6}{\pi }+12k<24$
$\iff -4+\frac{6}{\pi }\le 12k<20+\frac{6}{\pi }\iff -\frac{1}{3}+\frac{1}{2\pi }\le k<\frac{5}{3}+\frac{1}{2\pi }$
Mà $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $k\in \{0;1\}$.
Với k=0 thì $t=4-\frac{6}{\pi }+12.0\approx 2,09$ (giờ);
Với k=1 thì $t=4-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 14,09$ (giờ).
- Do $0\le \mathrm{t}<24$ nên từ (2) ta có: $0\le -4-\frac{6}{\pi }+12k<24$
$\iff 4+\frac{6}{\pi }\le 12k<28+\frac{6}{\pi }\iff \frac{1}{3}+\frac{1}{2\pi }\le k<\frac{7}{3}+\frac{1}{2\pi }$
Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{1;2\}$.
Với k=1 thì $t=-4-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 6,09$ (giờ);
Với k=2$ thì $t=-4-\frac{6}{\pi }+12.2\approx 18,09$ (giờ).
Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 10,5 m.