Câu hỏi 16 - Mục Bài tập trang 86

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng $\triangle A B H \backsim \triangle C B A$, suy ra $A B^2=B H . B C$.

2. Phương pháp giải

- Nếu một tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

- Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đồng dạng với nhau.

3. Lời giải chi tiết

Vì $A H$ là đường cao nên $\widehat{A H B}=\widehat{A H C}=90^{\circ}$

Xét tam giác $A B H$ và tam giác $C B A$ có:
$\widehat{B}$ (chung)
$\widehat{A H B}=\widehat{C A B}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)
Suy ra, $\triangle A B H \backsim \triangle C B A$ (g.g).
Do đó, $\frac{A B}{C B}=\frac{B H}{A B}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)
Suy ra, $A B^2=B H . B C$.

1. Nội dung câu hỏi

Vẽ $H E$ vuông góc với $A B$ tại $E$, vẽ $H F$ vuông góc với $A C$ tại $F$. Chứng minh rằng $A E \cdot A B=A F \cdot A C$.

2. Phương pháp giải

- Nếu một tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

- Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đồng dạng với nhau.

3. Lời giải chi tiết

- Vì $H E$ vuông góc với $A B$ nên $\widehat{H E A}=\widehat{H E B}=90^{\circ}$

Xét tam giác $A H E$ và tam giác $A B H$ có:
$\widehat{H A E}$ (chung)
$\widehat{H E A}=\widehat{A H B}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)
Suy ra, $\triangle A H E \backsim \triangle A B H$ (g.g).
Do đó, $\frac{A H}{A B}=\frac{A E}{A H}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)
Suy ra, $A H^2=A B \cdot A E$.(1)

- Vì $H F$ vuông góc với $A C$ nên $\widehat{H F C}=\widehat{H F A}=90^{\circ}$

Xét tam giác $A H F$ và tam giác $A C H$ có:
$\widehat{H A F}$ (chung)
$\widehat{A F H}=\widehat{A H C}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)
Suy ra, $\triangle A H F \backsim \triangle A C H$ (g.g).
Do đó, $\frac{A H}{A C}=\frac{A F}{A H}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)
Suy ra, $A H^2=A F$. $A C$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra, $A E \cdot A B=A F \cdot A C$ (điều phải chứng minh)

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng $\triangle A F E \backsim \triangle A B C$.

2. Phương pháp giải

- Nếu một tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

- Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đồng dạng với nhau.

3. Lời giải chi tiết

Vì $A E \cdot A B=A F \cdot A C \Rightarrow \frac{A E}{A C}=\frac{A F}{A B}$.

Xét tam giác $A F E$ và tam giác $A B C$ có:
$\widehat{A}$ (chung)
$\frac{A E}{A C}=\frac{A F}{A B}$ (chứng minh trên)
Suy ra, $\triangle A F E \backsim \triangle A B C$ (c.g.c).

1. Nội dung câu hỏi

Qua $A$ vẽ đường thẳng song song với $B C$ cắt đường thẳng $H F$ tại $I$. Vẽ $I N$ vuông góc với $B C$ tại $N$. Chứng minh rằng $\triangle H N F \backsim \Delta H I C$.

2. Phương pháp giải

- Nếu một tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

- Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đồng dạng với nhau.

3. Lời giải chi tiết

Vì $H F$ vuông góc với $A C$ nên $C F \perp H I$, do đó, $\widehat{C F H}=\widehat{C F I}=90^{\circ}$

Vì $I N \perp C H \Rightarrow \widehat{C B I}=\widehat{H N I}=90^{\circ}$.

Xét tam giác $H F C$ và tam giác $H N I$ có:
$\widehat{C H I}$ (chung)
$\widehat{H F C}=\widehat{H N I}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)
Suy ra, $\triangle H F C \backsim \Delta H N I$ (g.g).
Suy ra, $\frac{H F}{H N}=\frac{H C}{H I}$ (hai cặp cạnh tương ứng cùng tỉ lệ)
Do đó, $\frac{H F}{H C}=\frac{H N}{H I}$.

Xét tam giác $H N F$ và tam giác $H I C$ có:
$\widehat{C H I}$ (chung)
$\frac{H F}{H C}=\frac{H N}{H I}$ (chứng minh trên)
Suy ra, $\Delta H N F \backsim \Delta H I C$ (c.g.c).