Câu hỏi 2 trang 50 SGK Giải tích 12

Đề bài

Dựa vào đồ thị của các hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = {x^4}\)(H.26, H.27), hãy biện luận theo b số nghiệm của các phương trình \( {x^3}=b\) và\( {x^4}=b\) .

Lời giải chi tiết

Ta có: Số nghiệm của phương trình \( {x^3}=b\)  là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = b\)

Dựa vào H26 ta thấy: với mọi b: đồ thị hàm số  \(y = {x^3}\) luôn cắt đường thẳng  \(y = b\) tại một điểm duy nhất do đó phương trình \( {x^3}=b\) có nghiệm duy nhất với mọi b.

Số nghiệm của phương trình \( {x^4}=b\) (1) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số  \(y = b\) và  \(y = {x^4}\) . Dựa và hình 27 ta thấy:

+ Với \(b < 0\) hai đồ thị hàm số trên không giao nhau, vậy phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với \(b = 0\), hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau tại \((0,0)\), vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(x = 0.\)

+ Với \(b > 0\), hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biết, vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.