Câu hỏi 2.29 - Mục Bài tập trang 57

1. Nội dung câu hỏi

Trong một cấp số cộng $\left(u_n\right)$, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\text{ với }k\ge 2\text{. }$

2. Phương án trả lời

Sử dụng công thức tổng quát u_n của cấp số cộng và cấp số nhân để lần lượt chứng minh đẳng thức.

3. Lời giải chi tiết

$\text{Ta có }{u}_{k-1}=u_1+(k-2)d$
$u_k=u_1+(k-1)d$
$u_{k+1}=u_1+kd$
Do đó:
$u_{k-1}+u_{k+1}=u_1+(k-2)d+u_1+kd=2u_1+(2k-2)d=2\left[u_1+(k-1)d\right]=2u_k$
$\text{ Suy ra: }{u}_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\text{ (đpcm). }$

1. Nội dung câu hỏi

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
$u_k^2=u_{k-1}·u_{k+1}\text{ với }k\ge 2\text{. }$

2. Phương án trả lời

Sử dụng công thức tổng quát u_n của cấp số cộng và cấp số nhân để lần lượt chứng minh đẳng thức.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $u_{k-1}=u_1.q^{k-2}$
$u_k=u_1.q^{k-1}$
$u_{k+1}=u_1.q^k$
Do đó:
$u_{k-1}.u_{k+1}=\left(u_1.q^{k-2}\right).\left(u_1.q^k\right)=u_k^2·q^{2k-2}={\left(u_1·q^{k-1}\right)}^2=u_k^2$ (đpcm)