Câu hỏi 3 trang 150 SGK Đại số và Giải tích 11

Vẽ đồ thị của hàm số \(f(x) = {{{x^2}} \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

Tính \(f’(1).\)

Lời giải chi tiết:

- Giả sử \(Δx\) là số gia của đối số tại \({x_0} = 1\). Ta có:

\(\eqalign{
& \Delta y = f(1 + \Delta x) - f(1) \cr &= {{{{(1 + \Delta x)}^2}} \over 2} - {{{1^2}} \over 2} \cr &= {{{{(\Delta x)}^2} + 2\Delta x} \over 2} \cr 
& \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{{{(\Delta x)}^2} + 2\Delta x} \over 2}:\Delta x \cr &= {{\Delta x} \over 2} + 1 \cr 
& \Rightarrow f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta x} \over 2} + 1 = 0 + 1 = 1 \cr} \)

Vẽ đường thẳng đi qua điểm \(M(1; {1 \over 2}\)) và có hệ số góc bằng \(f’(1)\). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết:

- Đường thẳng có hệ số góc bằng \(f'(1) = 1\) có dạng:

\(y = 1.x + a\) hay \(y = x + a\)

Mà đường thẳng đó đi qua điểm \(M(1; {1 \over 2}\)) nên có: \({1 \over 2} = 1 + a ⇒ a = {1 \over 2} - 1 = -{1 \over 2}\)

⇒ đường thẳng đi qua \(M\) và có hệ số góc bằng \(1\) là: \(y = x – {1 \over 2}\)

Ta có đồ thị như trên. Đường thẳng \(y = x – {1 \over 2}\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(f(x)\) tại \(M\)