Câu hỏi 4 - Mục Bài tập trang 70

1. Nội dung câu hỏi

Kí hiệu $a_n$ là diện tích của hình vuông thứ $n$ và $S_n$ là tổng diện tích của $n$ hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính $a_n, S_n(n=1,2,3, \ldots)$ và tìm $\lim S_n$ (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

2. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm cạnh của hình vuông thứ $n$ dựa vào cạnh của hình vuông thứ $n-1$.
Bước 2: Tính chu vi và diện tích của hình vuông thứ $n$.
Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ :
$
S=u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots=\frac{u_1}{1-q}
$

3. Lời giải chi tiết

Diện tích của các hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn $\left(a_n\right)$ với số hạng đầu là $u_1=1$ và công bội $\frac{1}{2}$ nên công thức tổng quát của $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.
Ta có: $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^n}+\ldots$
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: $S=\lim S_n=\lim \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^n}+\ldots\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

1. Nội dung câu hỏi

Kí hiệu $p_n$ là chu vi của hình vuông thứ $n$ và $Q_n$ là tổng chu vi của $n$ hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính $p_n$ và $Q_n(n=1,2,3, \ldots)$ và tìm lim $Q_n$ (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

2. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm cạnh của hình vuông thứ $n$ dựa vào cạnh của hình vuông thứ $n-1$.
Bước 2: Tính chu vi và diện tích của hình vuông thứ $n$.
Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ :
$
S=u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots=\frac{u_1}{1-q}
$

3. Lời giải chi tiết

Chu vi $\mathrm{p}_{\mathrm{n}}$ của hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $\mathrm{u}_1=4$ và công bội $\mathrm{q}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ có số hạng tổng quát là: $p_n=4{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^{n-1}$.
$\begin{aligned} & \text { Vậy } 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{(\sqrt{2})^2}+\ldots+\frac{1}{(\sqrt{2})^{n-1}}=1 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=(2+\sqrt{2})\left(1-\frac{1}{(\sqrt{2})^n}\right) \text {. } \\ & \Rightarrow Q_n=4(2+\sqrt{2})\left(1-\frac{1}{(\sqrt{2})^n}\right) \\ & \lim Q_n=\lim 4(2+\sqrt{2})\left(1-\frac{1}{(\sqrt{2})^n}\right)=4(2+\sqrt{2})\left(1-\lim \frac{1}{(\sqrt{2})^n}\right) \\ & =4(2+\sqrt{2})(1-0)=4(2+\sqrt{2}) \\ & \end{aligned}$