Câu hỏi 4 - Mục Bài tập trang 85

1. Nội dung câu hỏi

Cho hàm số $f(x)=2 x-\sin x, g(x)=\sqrt{x-1}$. Xét tính liên tục hàm số $y=f(x) \cdot g(x)$ và $y=\frac{f(x)}{g(x)}$.

2. Phương pháp giải

Xét tính liên tục của các hàm số $f(x)$ và $g(x)$ sau đó áp dụng định lí về tính liên tục của tích, thương hai hàm số.

3. Lời giải chi tiết

- Xét hàm số $f(x)=2 x-\sin x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Vậy hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
- Xét hàm số $g(x)=\sqrt{x-1}$
ĐКХĐ: $x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$
Hàm số $g(x)=\sqrt{x-1}$ có tập xác định $D=[1 ;+\infty)$.
Hàm số $g(x)=\sqrt{x-1}$ là hàm căn thức nên liên tục trên khoảng $(1 ;+\infty)$.
Ta có: $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} g(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \sqrt{x-1}=\sqrt{1-1}=0=g(1)$
Do đó hàm số $g(x)=\sqrt{x-1}$ liên tục tại điểm $x_0=1$.
Vậy hàm số $g(x)=\sqrt{x-1}$ liên tục trên nửa khoảng $[1 ;+\infty)$.

- Xét hàm số $y=f(x) \cdot g(x)=(2 x-\sin x) \sqrt{x-1}$
Do hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ đều liên tục tại mọi điểm $x_0 \in[1 ;+\infty)$ nên hàm số $y=f(x) \cdot g(x)$ liên tục trên nửa khoảng $[1 ;+\infty)$.
- Xét hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2 x-\sin x}{\sqrt{x-1}}$
Do hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ đều liên tục tại mọi điểm $x_0 \in[1 ;+\infty)$ nên hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục trên khoảng $(1 ;+\infty)$.