Câu hỏi 5 - Mục Bài tập trang 50

1. Nội dung câu hỏi

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$.

Chứng minh $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng và bị chặn.

2. Phương pháp giải

• Chứng minh $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng:

Bước 1: Tìm $u_{n+1}$

Bước 2: Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$.

Bước 3: Chứng minh $u_{n+1}-u_n>0\iff u_{n+1}>u_n,\forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$, từ đó kết luận dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

• Chứng minh $\left(u_n\right)$ bị chặn: Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

3. Lời giải chi tiết

• Ta có: $u_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{(n+1)+1}=\frac{2n+2-1}{n+1+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Xét hiệu: $$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{(2n+1)(n+1)-(2n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{\left(2n^2+n+2n+1\right)-\left(2n^2-n+4n-2\right)}{(n+2)(n+1)} \\ =\frac{2n^2+n+2n+1-2n^2+n-4n+2}{(n+2)(n+1)}=\frac{3}{(n+2)(n+1)}>0,\forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*} \end{gathered}$$

Vậy $u_{n+1}-u_n>0\iff u_{n+1}>u_n$ suy ra dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

• Ta có: $u_n=\frac{2n-1}{n+1}=\frac{2(n+1)-3}{n+1}=2-\frac{3}{n+1}$

$\forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ta có: $n+1>0\iff \frac{3}{n+1}>0\iff 2-\frac{3}{n+1}<2\iff u_n<2$.

Vậy $\left(u_n\right)$ bị chặn trên.

$n\ge 1\iff n+1\ge 1+1\iff n+1\ge 2\iff \frac{3}{n+1}\le \frac{3}{2}\iff 2-\frac{3}{n+1}\ge 2-\frac{3}{2}\iff u_n\ge \frac{1}{2}$

Vậy $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số $\left(u_n\right)$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy sô $\left(u_n\right)$ bị chặn.