Câu hỏi 5 - Mục Bài tập trang 60

1. Nội dung câu hỏi

$S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{3^n}$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ là: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

3. Lời giải chi tiết

Tổng $S_n$ là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=\frac{1}{3}$ nên ta có:
$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{1\left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2·3^{n-1}}$

1. Nội dung câu hỏi

$S_n=9+99+999+\dots +\underset{n\text{ chữ số }9}{\underbrace{99\dots 9}}$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ là: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

3. Lời giải chi tiết

$S_n=9+99+999+\dots +\underset{n\text{ chữ số }9}{\underbrace{99\dots 9}}=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\dots +(\underset{n\text{ chữ số }0}{\underbrace{100\dots 0}}-1)$
$=(10+100+1000+\dots +\underset{n\text{ chữ số }0}{\underbrace{100\dots 0}})-n$
Tổng $10+100+1000+\dots +\underset{n\text{ chữ số }0}{\underbrace{100\dots 0}}$ là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=10$ và công bội $q=10$ nên ta có:
$10+100+1000+\dots +\underset{n\text{ chữ số }0}{\underbrace{100\dots 0}}=\frac{10\left(1-{10}^n\right)}{1-10}=\frac{10-{10}^{n+1}}{-9}=\frac{{10}^{n+1}-10}{9}$
Vậy $S_n=\frac{{10}^{n+1}-10}{9}-n=\frac{{10}^{n+1}-10-9n}{9}$