Câu hỏi 5.32 - Mục Bài tập trang 124

1. Nội dung câu hỏi

Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là

$F(r)= \begin{cases}\frac{G M r}{R^3} & \text { nếu } r<R \\ \frac{G M}{r^2} & \text { nếu } r \geq R,\end{cases}$

trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r).

2. Phương pháp giải

Dùng định nghĩa hàm số liên tục để xét tính liên tục của hàm số F(r).

3. Lời giải chi tiết

Vì $\mathrm{M}$ và $\mathrm{R}$ lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, $\mathrm{G}$ là hằng số hấp dẫn, do đó $\mathrm{M}, \mathrm{R}, \mathrm{G}$ đều khác $0, r$ là khoảng cách nên $r>0$
Ta có: $F(r)=\left\{\begin{array}{l}\frac{G M r}{R^3} \text { nếu } r<R \\ \frac{G M}{r^2} \quad \text { nếu } r \geq R,\end{array}\right.$. Tập xác định của hàm số $F(r)$ là $(0 ;+\infty)$.
+) Với $\mathrm{r}<\mathrm{R}$ thì $\mathrm{F}(\mathrm{r})=\frac{G M r}{R^3}$ hay $\mathrm{F}(\mathrm{r})=\frac{G M}{R^3} . r$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên $(0 ; \mathrm{R})$.
+) Với $r>R$ thì $F(r)=\frac{G M}{r^2}$ là hàm phân thức nên nó liên tục trên $(\mathrm{R} ;+\infty)$.
+) Tại $r=R$, ta có $F(R)=\frac{G M}{R^2}$.
$\lim _{r \rightarrow R^{+}} F(r)=\lim _{r \rightarrow R^{+}} \frac{G M}{r^2}=\frac{G M}{R^2} ; \lim _{r \rightarrow R^{-}} f(R)=\lim _{r \rightarrow R^{-}} \frac{G M r}{R^3}=\frac{G M R}{R^3}=\frac{G M}{R^2}$.
Do đó, $\lim _{r \rightarrow R^{+}} F(r)=\lim _{r \rightarrow R^{-}} F(r)=\frac{G M}{R^2}$ nên $\lim _{r \rightarrow R} F(r)=\frac{G M}{R^2}=F(R)$.
Suy ra hàm số $F(r)$ liên tục tại $r=R$.
Vậy hàm số $F(r)$ liên tục trên $(0 ;+\infty)$.