Câu hỏi 6 trang 98 SGK Giải tích 12

a) Cho $\smallint {\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^{10}}dx$. Đặt $u = x – 1$, hãy viết ${\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^{10}}dx$ theo $u$ và $du$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính vi phân $du = u'dx \Rightarrow dx = \frac{{du}}{{u'}}$

Bước 2: Thay $x, dx$ thành $u+1, \frac{{du}}{{u'}}$ vào nguyên hàm

Lời giải chi tiết:

Ta có: $u = x - 1 \Rightarrow x=u+1 $ $\Rightarrow dx= (u+1)'du=du$

$\Rightarrow {\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^{10}}dx{\rm{ }} = {\rm{ }}{u^{10}}du{\rm{ }}$

b) $\displaystyle \int {{{\ln x} \over x}} dx$. Đặt $x=e^t$,  hãy viết $\displaystyle\int {{{\ln x} \over x}} dx$ theo $t$ và $dt$

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ $x = {e^t} \Rightarrow t = \ln x$ Tính vi phân $dt = t'dx \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{t'}}$

Bước 2: Thay $x, dx$ thành $e^t, \frac{{dt}}{{t'}}$ vào nguyên hàm

Lời giải chi tiết:

Ta có: $x = {e^t} $ $ \Rightarrow dx = \left( {{e^t}} \right)'dt = {e^t}dt$

Do đó: $\displaystyle{{\ln x} \over x}dx = {{\ln ({e^t})} \over {{e^t}}}{e^t}dt = tdt$