Câu hỏi 7 - Mục Bài tập trang 76

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng $\triangle A M H \backsim \Delta A H B$.

2. Phương pháp giải

- Nếu một tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

- Diện tích tam giác vuông bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông.

3. Lời giải chi tiết

Xét $\Delta A M H$ và $\Delta A H B$ có:
$\widehat{H A M}$ chung (do $\widehat{H A M}$ cũng là $\widehat{H A B}$ )
$\widehat{A M H}=\widehat{A H B}=90^{\circ}$ (do $H M \perp A B$ và $A H$ là đường cao)

Do đó, $\triangle A M H \backsim \Delta A H B$ (g.g).

1. Nội dung câu hỏi

Kẻ $H N$ vuông góc với $A C$ tại $N$. Chứng minh rằng $A M . A B=A N . A C$.

2. Phương pháp giải

- Nếu một tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

- Diện tích tam giác vuông bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông.

3. Lời giải chi tiết

Vì $\Delta A M H \backsim \Delta A H B$ nên $\frac{A M}{A H}=\frac{A H}{A B}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)
Suy ra $A M \cdot A B=A H^2(1)$

- Xét $\triangle A N H$ và $\triangle A H C$ có:
$\widehat{H A N}$ chung (do $\widehat{H A N}$ cũng là $\widehat{H A C}$ )
$\widehat{A N H}=\widehat{A H C}=90^{\circ}$ (do $H N \perp A C$ và $A H$ là đường cao)

Do đó, $\triangle A N H \backsim \Delta A H C$ (g.g).
Vì $\triangle A N H \backsim \Delta A H C$ nên $\frac{A N}{A H}=\frac{A H}{A C}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)
Suy ra $A N . A C=A H^2(2)$
Từ (1) và (2) suy ra, $A M \cdot A B=A N . A C$ (điều phải chứng minh).

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng $\triangle A N M \backsim \triangle A B C$.

2. Phương pháp giải

- Nếu một tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

- Diện tích tam giác vuông bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông.

3. Lời giải chi tiết

Từ câu b ta có:
$A M \cdot A B=A N . A C \Rightarrow \frac{A M}{A C}=\frac{A N}{A B}$ (tỉ lệ thức)
Xét $\triangle A N M$ và $\triangle A B C$ ta có:
$\widehat{A}$ chung
$\frac{A M}{A C}=\frac{A N}{A B}$ (chứng minh trên)
Do đó, $\triangle A N M \backsim \Delta A B C$ (c.g.c)

1. Nội dung câu hỏi

Cho biết $A B=9 \mathrm{~cm}, A C=12 \mathrm{~cm}$. Tính diện tích tam giác $A M N$.

2. Phương pháp giải

- Nếu một tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

- Diện tích tam giác vuông bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông.

3. Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí Py- ta - go cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=9^2+{12}^2=225\Rightarrow BC=15 \mathrm{cm}$

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{∆ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}AH·BC\Rightarrow AH·BC=AB·AC\Rightarrow AH=\frac{AB·AC}{BC}=\frac{9.12}{15}=7,2 \mathrm{cm}.$

Ta có:

$A{H}^2=AM·AB=AM.9=7,2^2\Rightarrow AM=\frac{7,2^2}{9}=5,76 \mathrm{cm}$

${\mathrm{AH}}^2=\mathrm{AN}.\mathrm{AC}=\mathrm{AN}.12=7,2^2\Rightarrow \mathrm{AN}=\frac{7,2^2}{12}=4,32 \mathrm{cm}$

Diện tích tam giác vuông $A M N$ là: $S_{AMN}=\frac{1}{2}AM·AN=\frac{1}{2}.5,76.4,32=12,4416{ \mathrm{cm}}^2.$

Vậy diện tích tam giác $A M N$ là $12,4416 \mathrm{~cm}^2$.