Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Bài 2 - Chương 1 - Hình học 9

Đề bài

Bài 1. Cho \(∆ABC\) vuông tại A và \(\widehat B = \alpha .\) Chứng minh rằng:

a. \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

b. \(\tan \alpha  = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}\)

Bài 2. Hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ tự tăng dần (không dùng bảng số và máy tính) :

a. \(\sin 40^\circ ,\,\cos 28^\circ ,\,\sin 65^\circ ,\,\cos 88^\circ \)

b. \(\tan 65^\circ ,\cot 42^\circ ,\tan 76^\circ ,\cot 27^\circ .\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Sử dụng:

\(\sin \alpha  = \dfrac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};\cos \alpha  = \dfrac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}}\)

2. Sử dụng:

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Nếu \(\alpha<\beta\) thì \(\sin \alpha<\sin \beta;\) \(\tan \alpha<\tan \beta\)

Lời giải chi tiết

Bài 1.

a. Đặt \(AB=c,AC=b,BC=a\) 

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pytago ta có: \(a^2=b^2+c^2\)

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: \(\sin \alpha  = {b \over a} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = {{{b^2}} \over {{a^2}}}\) 

\(\cos \alpha  = {c \over a} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = {{{c^2}} \over {{a^2}}}\)

Do đó: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {{{b^2} + {c^2}} \over {{a^2}}} = {{{a^2}} \over {{a^2}}} = 1\)

b. \(\tan \alpha  = {b \over c} = {b \over c}:{c \over a} = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}\)

Bài 2. a. Ta có:

\(\eqalign{  & \cos 28^\circ  = \sin \left( {90^\circ  - 28^\circ } \right) = \sin 62^\circ   \cr  & \cos 88^\circ  = \sin \left( {90^\circ  - 88^\circ } \right) = \sin 2^\circ  \cr} \)

Mà \(\sin 2^\circ  < \sin 40^\circ  < \sin 62^\circ  < \sin 65^\circ \) (góc tăng thì sin tăng)

\( \Rightarrow \cos 88^\circ  < \sin 40^\circ  < \cos 28^\circ \)\(\, < \sin 65^\circ .\)

b. Ta có:

\(\eqalign{  & \cot 42^\circ  = \tan \left( {90^\circ  - 42^\circ } \right) = \tan 48^\circ   \cr  & \cot 27^\circ  = \tan \left( {90^\circ  - 27^\circ } \right) = \tan 63^\circ  \cr} \)

Mà \( \tan 48^\circ  < \tan 63^\circ  < \tan 65^\circ  < \tan 76^\circ \)

\(\Rightarrow \cot 42^\circ  < \cot 27^\circ  < \tan 65^\circ\)\(\,  < \tan 76^\circ  \)