Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 8 - Bài 4, 5 - Chương 1- Hình học 8

Đề bài

Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BE và CD. Và M, N theo thứ tự là giao điểm của IK với BD và CE. Chứng minh IM = MN = NK.

Lời giải chi tiết

Ta có ED là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(ED//BC\) và \(ED = \dfrac{1 }{ 2}BC\) (1)

\( \Rightarrow BEDC\) là hình thang có I, K lần lượt là trung điểm của BE và  CD nên IK là đường trung bình của hình thang BEDC

\( \Rightarrow IK//ED//BC.\)

Trong \(\Delta BED\) có I là trung điểm cạnh BE và \(IM//ED\) nên M là trung điểm BD hay \(IM = \dfrac{1 }{ 2}ED\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow IM = \dfrac{1 }{ 4}BC\;\;\;(3)\)

Trong \(\Delta BEC\) cũng có I là trung điểm BE và \(IN//BC\) nên N là trung điểm EC, do đó IN là đường trung bình của tam giác BEC. Suy ra \(IN = \dfrac{1 }{2}BC\) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow MN =IN-IM\)\(= \dfrac{1 }{2}BC- \dfrac{1 }{4}BC= \dfrac{1}{4}BC\)

Trong \(\Delta CDE\) có K là trung điểm DC và N là trung điểm EC nên NK là đường trung bình của tam giác EDC. Suy ra \(NK = \dfrac{1 }{2}ED \Rightarrow NK = \dfrac{1}{4}BC\).

Vậy \(IM = MN = NK\) \((= \dfrac{1}{4}BC)\)