2. Đề kiểm tra giữa kì II Toán 9 - Đề số 4

Đề bài

Câu 1 (2,5 điểm): Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y =  - {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x - 3\)

a) Vẽ parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

Câu 2 (2,5 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình:

Hai tổ sản xuất cùng nhận chung được một đơn hàng, nếu hai tổ cùng làm thì sau \(15\) ngày sẽ xong. Tuy nhiên, sau khi cùng làm được \(6\) ngày thì tổ I có việc bận phải chuyển công việc khác, do đổ tổ II làm một mình \(24\) ngày nữa thì hoàn thành đơn hàng. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi tổ làm xong trong bao nhiều ngày?

Câu 3 (4,0 điểm): Cho \(\left( {O;\,\,R} \right)\), \(MN\) là dây không đi qua tâm. \(C,\,\,D\) là hai điểm bất kì thuộc dây \(MN\) (\(C,\,\,D\) không trùng với \(M,\,\,N\)). \(A\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(MN\). Các đường thẳng \(AC\) và \(AD\) lần lượt cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E,\,\,F\).

a) Chứng minh \(\angle ACD = \angle AFE\) và tứ giác \(CDFE\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(A{M^2} = AC.AE\).

c) Kẻ đường kính \(AB\). Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MCE\). Chứng minh \(M,\,\,I,\,\,B\) thẳng hàng.

Câu 4 (1,0 điểm): Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 \(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)}  + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)}  + \sqrt {{z^2} + 5} }}\).

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị sau đó biểu diễn \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) tìm được \(x\), từ đó tìm được \(y\).

Cách giải:

Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y =  - {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x - 3\)

a) Vẽ parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

*) Vẽ parabol \(\left( P \right):\,\,y =  - {x^2}\)

Ta có bảng giá trị:

\( \Rightarrow \left( P \right):\,\,y =  - {x^2}\) là đường cong Parabol đi qua các điểm có tọa độ\(\left( { - 2\,;\,\, - 4} \right),\)\(\left( { - 1\,;\,\, - 1} \right),\)\(\left( {0\,;\,\,0} \right),\)\(\left( {1\,;\,\, - 1} \right),\)\(\left( {2\,;\,\, - 4} \right)\)

*) Vẽ đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x - 3\)

Ta có bảng giá trị:

\( \Rightarrow \left( d \right):y = 2x - 3\) là đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ \(\left( {0\,\,;\,\, - 3} \right),\,\left( {\frac{3}{2}\,\,;\,\,0} \right)\)

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\, - {x^2} = 2x - 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 3x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x} \right) + \left( {3x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 3\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(x = 1\)\( \Rightarrow y =  - {1^2} =  - 1\)

\( \Rightarrow A\left( {1\,;\,\, - 1} \right)\)

+) Với \(x =  - 3\)\( \Rightarrow y =  - {\left( { - 3} \right)^2} =  - 9\)

\( \Rightarrow B\left( { - 3\,;\,\, - 9} \right)\)

Vậy \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {1\,;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( { - 3\,;\,\, - 9} \right)\).

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn vừa gọi và các đại lượng đã biết.

+) Dựa vào dữ kiện bài toán để lập phương trình.

+) Giải phương trình vừa lập sau đó đối chiếu với điều kiện đề bài và kết luận

Cách giải:

Gọi thời gian để tổ I làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là \(x\) (ngày); \(\left( {x > 15} \right).\)

Gọi thời gian để tổ II làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là \(y\)(ngày); \(\left( {y > 15} \right).\)

Trong một ngày, tổ I làm được \(\frac{1}{x}\) đơn hàng.

Trong một ngày, tổ II làm được \(\frac{1}{y}\) đơn hàng.

Vì hai tổ cùng làm trong \(15\) ngày thì hoàn thành xong đơn hàng, nên trong một ngày cả hai tổ làm được \(\frac{1}{{15}}\) đơn hàng. Khi đó, ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\)   \(\left( 1 \right)\)

Trong \(6\) ngày, cả hai tổ làm được \(\frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}\) đơn hàng.

Trong \(24\) ngày, tổ II làm được \(\frac{{24}}{y}\) đơn hàng.

Vì sau khi cùng làm được \(6\) ngày thì tổ II làm một mình trong \(24\) ngày nữa thì hoàn thành xong đơn hàng nên ta có phương trình: \(\frac{2}{5} + \frac{{24}}{y} = 1\)    \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình:

    \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{2}{5} + \frac{{24}}{y} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{{24}}{y} = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\y = 40\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{{40}} = \frac{1}{{15}}\\y = 40\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\left( {tm} \right)\\y = 40\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy thời gian để tổ I làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là \(24\) ngày.

Thời gian để tổ II làm một mình hoàn thành xong đơn hàng là \(40\) ngày.

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách áp dụng dấu hiệu nhận biết.

b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

c) Chứng minh \(AM \bot MI\) và \(AM \bot MB\) tại \(M\). Từ đó suy ra ba điểm \(M,\,\,I,\,\,B\) thẳng hàng.

Cách giải:

Cho \(\left( {O;\,\,R} \right)\), \(MN\) là dây không đi qua tâm. \(C,\,\,D\) là hai điểm bất kì thuộc dây \(MN\) (\(C,\,\,D\) không trùng với \(M,\,\,N\)). \(A\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(MN\). Các đường thẳng \(AC\) và \(AD\) lần lượt cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E,\,\,F\).

a) Chứng minh \(\angle ACD = \angle AFE\) và tứ giác \(CDFE\) nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:

 (góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn)

  (góc nội tiếp )

Vì \(A\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(MN\) nên (liên hệ giữa cung và dây)

\( \Rightarrow \angle ACD = \angle AFE\) (đpcm)

Theo chứng minh trên, ta có: \(\angle ACD = \angle AFE\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(CDFE\) nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó)

b) Chứng minh \(A{M^2} = AC.AE\).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\), ta có:

 (góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(AN\))

 (góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(AM\))

Ta lại có:  (chứng minh trên) suy ra \(\angle AMC = \angle AEM\).

Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta AEM\) ta có:

\(\angle A\) chung

\(\angle AMC = \angle AEM\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \Delta AMC = \Delta AEM\) (góc – góc)

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AM}}\) (tỷ lệ cặp cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow A{M^2} = AE.AC\)(đpcm)

c) Kẻ đường kính \(AB\). Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MCE\). Chứng minh \(M,\,\,I,\,\,B\) thẳng hàng.

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:

+) \(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)\( \Rightarrow AM \bot MB\) tại \(M\).

+) \(\angle AMN = \angle MEA\) (góc nội tiếp bị chắn bởi hai cung bằng nhau  và ).

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MCE\) ta có:

+)  (góc ở tâm)

 (góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(MC\))

\( \Rightarrow \angle MIC = 2\angle MEC\)

+) \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MCE\)\( \Rightarrow IM = IC = IE\)(=bán kính)

Vì \(IM = IC \Rightarrow \Delta MIC\) cân tại \(I\)\( \Rightarrow \angle IMC = \angle ICM\) (tính chất)

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác \(IMC\) ta có:

\(\,\,\,\,\,\,\angle IMC + \angle ICM + \angle MIC = {180^0}\)

\( \Rightarrow 2\angle IMC + \angle MIC = {180^0}\)     (vì \(\angle IMC = \angle ICM\))

\( \Rightarrow 2\angle IMC + 2\angle MEC = {180^0}\)  (vì\(\angle MIC = 2\angle MEC\))

\( \Rightarrow 2\angle IMC + 2\angle AMN = {180^0}\)  (vì \(\angle AMN = \angle MEA\))

\( \Rightarrow \angle IMC + \angle AMN = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle AMI = {90^0}\)

\( \Rightarrow AM \bot MI\) tại \(M\)

Mà \(AM \bot MB\) tại \(M\) (chứng minh trên)

 \( \Rightarrow \) Ba điểm \(M,\,\,I,\,\,B\) thẳng hàng (đpcm)

Câu 4 (VDC)

Phương pháp:

Thay \(xy + yz + zx = 5\) vào biểu thức \({x^2} + 5\) sau đó phân tích thành nhân tử.

Làm tương tự đối với \({y^2} + 5\), \({z^2} + 5\). Sau đó, áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Cách giải:

Với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(xy + yz + zx = 5\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 \(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)}  + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)}  + \sqrt {{z^2} + 5} }}\)

Vì \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x + z > 0\\y + z > 0\end{array} \right.\)

\({x^2} + 5 = {x^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{x^2} + xy} \right) + \left( {yz + xz} \right)\)

\( = x\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\)

\({y^2} + 5 = {y^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{y^2} + xy} \right) + \left( {yz + xz} \right)\)

\( = y\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)\)\( = \left( {y + z} \right)\left( {x + y} \right)\)

\({z^2} + 5 = {z^2} + xy + yz + xz\)\( = \left( {{z^2} + xz} \right) + \left( {yz + xy} \right)\)

\( = z\left( {x + z} \right) + y\left( {x + z} \right)\)\( = \left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)\)

Khi đó, ta có:

\(P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}  + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}  + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {x + y} \right).2\left( {x + z} \right)} \)

\( \le \left( {\frac{{3\left( {x + y} \right) + 2\left( {x + z} \right)}}{2}} \right)\) \( = \frac{{3x + 3y + 2x + 2z}}{2}\)\( = \frac{{5x + 3y + 2z}}{2}\)

\(\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {x + y} \right).2\left( {y + z} \right)} \)

\( \le \left( {\frac{{3\left( {x + y} \right) + 2\left( {y + z} \right)}}{2}} \right)\)\( = \frac{{3x + 3y + 2y + 2z}}{2}\)\( = \frac{{3x + 5y + 2z}}{2}\)

\(\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}  = \sqrt {\left( {x + z} \right).\left( {y + z} \right)} \)

\( \le \frac{{\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)}}{2}\)\( = \frac{{x + y + 2z}}{2}\)

\( \Rightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)

\( \le \frac{{5x + 3y + 2z}}{2}\)\( + \frac{{3x + 5y + 2z}}{2}\)\( + \frac{{x + y + 2z}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)

\( \le \frac{{9x + 9y + 6z}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} \)\( + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} \)\( + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} \)

\( \le \frac{{3.\left( {3x + 3y + 2z} \right)}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}  + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}  + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }}{{\left( {3x + 3y + 2z} \right)}} \le \frac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}  + \sqrt {6\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}  + \sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} }} \ge \frac{2}{3}\)

\( \Leftrightarrow P \ge \frac{2}{3}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + y} \right) = 2\left( {x + z} \right)\\3\left( {x + z} \right) = 2\left( {y + z} \right)\\x + z = y + z\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(Min\,P = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 1\\z = 2\end{array} \right.\).