2. Đề thi vào 10 môn Toán Thanh Hóa năm 2020

Đề bài

Câu I:

Cho biểu thức $$ với $$ và $$.

1. Rút gọn biểu thức $$.

2. Tìm các giá trị của $$ để $$.

Câu II:

1. Trong mặt phẳng tọa độ $$, cho đường thẳng $$ có phương trình $$. Tìm $$ để đường thẳng $$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và đi qua điểm $$.

2. Giải hệ phương trình $$

Câu III:

1. Giải phương trình $$.

2. Cho phương trình $$ ($$ là tham số). Tìm các giá trị của $$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ thỏa mãn hệ thức

Câu IV:

Cho tam giác nhọn $$ nội tiếp đường tròn $$. Các đường cao $$ ($$ thuộc $$, $$ thuộc $$) của tam giác kéo dài lần lượt cắt đường tròn $$ tại các điểm $$ và $$ ($$ khác $$, $$ khác $$).

1. Chứng minh tứ giác $$ nội tiếp được trong một đường tròn.

2. Chứng minh $$ song song với $$.

3. Khi đường tròn $$ và dây $$ cố định, điểm $$ di động trên cung lớn $$ sao cho tam giác $$ nhọn, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ không đổi và tìm vị trí của điểm $$ để diện tích tam giác $$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu V:

Cho ba số thực dương $$ thỏa mãn điều kiện $$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ 

Lời giải chi tiết

Câu I (2,0 điểm)

Cách giải:

Cho biểu thức $$ với $$ và $$.

1. Rút gọn biểu thức $$.

Với $$ và $$ ta có:

2. Tìm các giá trị của $$ để $$.

Ta có:

Vậy để $$ thì $$.

Câu II (2,0 điểm)

Cách giải:

1. Trong mặt phẳng tọa độ $$, cho đường thẳng $$ có phương trình $$. Tìm $$ để đường thẳng $$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và đi qua điểm $$.

Đường thẳng $$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên đường thẳng $$ đi qua điểm $$. Thay tọa độ điểm $$ vào phương trình đường thẳng $$ ta có: $$.

Khi đó phương trình đường thẳng $$ có dạng $$.

Đường thẳng $$ đi qua điểm $$ nên thay tọa độ điểm $$ vào phương trình đường thẳng $$ ta có:

$$.

Vậy $$ và $$

2. Giải hệ phương trình $$

$$ $$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $$.

Câu III (2,0 điểm)

Cách giải:

1. Giải phương trình $$.

Ta có:

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$.

2. Cho phương trình $$ ($$ là tham số). Tìm các giá trị của $$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ thỏa mãn hệ thức

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $$ thì

$$ $$.

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: $$.

Theo bài ra ta có:

Ta có: $$, do đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

$$.

Vậy có hai giá trị của $$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $$. 

Câu IV (3,0 điểm)

Cách giải:

Cho tam giác nhọn $$ nội tiếp đường tròn $$. Các đường cao $$ ($$ thuộc $$, $$ thuộc $$) của tam giác kéo dài lần lượt cắt đường tròn $$ tại các điểm $$ và $$ ($$ khác $$, $$ khác $$).

1. Chứng minh tứ giác $$ nội tiếp được trong một đường tròn.

Vì $$ là các đường cao của $$ nên $$.

$$.

Suy ra tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

2. Chứng minh $$ song song với $$.

Vì $$ là tứ giác nội tiếp (cmt) nên $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$).

Mà $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$ của $$).

$$. Mà 2 góc này ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau.

Vậy $$.

3. Khi đường tròn $$ và dây $$ cố định, điểm $$ di động trên cung lớn $$ sao cho tam giác $$ nhọn, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ không đổi và tìm vị trí của điểm $$ để diện tích tam giác $$ đạt giá trị lớn nhất.

Gọi $$.

Xét tứ giác $$ có $$.

$$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $$).

Lại có $$ nên là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó tứ giác $$ nội tiếp đường tròn đường kính $$, tâm $$ là trung điểm của $$.

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ là đường tròn $$.

Kẻ đường kính $$ và gọi $$ là trung điểm của $$.

Vì $$ là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $$ nên $$.

Ta có: $$ (từ vuông góc đến song song).

            $$ (từ vuông góc đến song song).

$$ Tứ giác $$ là hình bình hành (dhnb).

$$ Hai đường chéo $$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (tính chất hình bình hành).

Mà $$ là trung điểm của $$ (theo cách vẽ) nên $$ cũng là trung điểm của $$.

Khi đó $$ là đường trung bình của tam giác $$ nên $$ (tính chất đường trung bình).

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ là đường tròn $$.

Mà $$ và $$ cố định, do đó $$ cố định nên $$ không đổi.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ bằng $$ không đổi.

Ta có: $$ (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).

Mà $$ cố định nên $$ không đổi. Do đó $$ không đổi.

Xét $$ và $$ có:

$$ chung;

$$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp $$).

$$ theo tỉ số $$.

Do đó ta có: $$.

Xét tam giác vuông $$ có: $$.

$$ $$, mà $$ không đổi nên để $$ đạt giá trị lớn nhất thì $$ phải lớn nhất.

Kéo dài $$ cắt $$ tại $$ $$ và $$.

Do $$ không đổi (theo giả thiết) nên $$ đạt giá tị lớn nhất khi và chỉ khi $$ lớn nhất.

Khi đó $$ phải là điểm chính giữa của cung lớn $$.

Vậy $$ đạt giá trị lớn nhất khi $$ là điểm chính giữa của cung lớn $$.

 Câu V (1,0 điểm)

Cách giải:

Cho ba số thực dương $$ thỏa mãn điều kiện $$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$

Ta có: $$

Đặt $$ $$.

Khi đó

Áp dụng BĐT $$ ta có:

Lại có:

Do đó

Vậy $$.

Dấu “=” xảy ra khi $$.