Bài 1 trang 150 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Rút gọn các biểu thức:

\(M = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  - \sqrt {6 + 4\sqrt 2 } \)

\(N = \sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 }  \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Đối với biểu thức \(M\) ta đưa các biểu thức dưới dấu căn về các hằng đẳng thức \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2};\)\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) rồi sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,khi\,A \ge 0\\ - A\,khi\,A < 0\end{array} \right.\)

+ Đối với biểu thức \(N\) ta có thể bình phương hai vế hoặc nhân cả hai vế với \(\sqrt 2 \) rồi biến đổi giống biểu thức \(M\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(M = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  - \sqrt {6 + 4\sqrt 2 } \) \( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \)

\( = \left( {\sqrt 2  - 1} \right) - \left( {2 + \sqrt 2 } \right) \)\(= \sqrt 2  - 1 - 2 - \sqrt 2  =  - 3\)

\(N = \sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 }  \)\(\Rightarrow {N^2}  = 2 + \sqrt 3  + 2 - \sqrt 3 + 2\sqrt {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}   \)\(= 4+ 2.1 = 6\)

Vì \(N  > 0\) nên \({N^2} = 6 \Rightarrow N = \sqrt 6 .\)

Chú ý khi giải: 

Ta có thể tính \(N\) bằng cách sau:

\(N = \sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 }  \)\(\Rightarrow \sqrt 2 .N = \sqrt 2 \left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right) \)\(= \sqrt {2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}  + \sqrt {2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \)

\( = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  \)\(= \sqrt {3 + 2\sqrt 3 .1 + 1}  + \sqrt {3 - 2\sqrt 3 .1 + 1}\)\(  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}} \)

\( = \left| {\sqrt 3  + 1} \right| + \left| {\sqrt 3  - 1} \right| \)\(= \sqrt 3  + 1 + \sqrt 3  - 1 = 2\sqrt 3 \)

Suy ra \(\sqrt 2 N = 2\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow N = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 6 .\)