Bài 1 trang 24 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:

\(\left( C \right):{\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\;-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Viết phương trình ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O.

3. Lời giải chi tiết

Đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\;-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có tâm I(2; 0), bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {0^2} - \left( { - 5} \right)}  = 3\)

Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm O.

Suy ra đường tròn (C’) có tâm là ảnh của I(2; 0) và bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)

Gọi \(I' = {\rm{ }}{Đ_O}\left( I \right),\) suy ra O là trung điểm II’ với I(2; 0).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_O} - {x_I} = 2.0 - 2 =  - 2\\{y_{I'}} = 2{y_O} - {y_I} = 2.0 - 0 = 0\end{array} \right.\)

Vì vậy tọa độ \(I'\left( {-2;{\rm{ }}0} \right).\)

Vậy đường tròn (C’) có tâm I’(–2; 0) và bán kính R’ = 3 có phương trình là:

\({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\; = {\rm{ }}9.\)