Bài 1 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho các mệnh đề:

P: “Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm phân biệt”;

Q: “Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có biệt thức\(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\)”. 

a) Hãy phát biểu các mệnh đề: P => Q, Q => P, P ⇔ Q,  => . Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.

b) Dùng các khái niệm "điều kiện cần” và "điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề  P => Q.

c) Gọi X là tập hợp các phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm phân biệt, Y là tập hợp các phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có hệ số a và c trái dấu. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.

Lời giải chi tiết

a)               

+ Mệnh đề P => Q: Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm phân biệt thì nó có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\). Mệnh đề này đúng.

+ Mệnh đề Q => P: Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\) thì nó có hai nghiệm phân biệt. Mệnh đề này đúng.

+ Mệnh đề P ⇔ Q: Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi nó có có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\). Mệnh đề này đúng.

+ Mệnh đề : Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) không có hai nghiệm phân biệt thì nó có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\). Mệnh đề này đúng.

b) + Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm phân biệt là điều kiện đủ để nó có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\)

+ Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\) là điều kiện cần để nó có hai nghiệm phân biệt

c) Các phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có hệ số a và c trái dấu thì luôn có 2 nghiệm trái dấu.

 Vậy \(Y \subset X\)