Bài 10 trang 88 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân

b) Tổng \(\dfrac{I}{{D{I^2}}} + \dfrac{I}{{D{K^2}}}\) không dổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Vẽ hình theo các giả thiết đã cho.

- Áp dụng hệ thức : \(\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\)

Lời giải chi tiết

a) Hai tam giác vuông DAI và DCL có \(DA = DC\) (là hai cạnh của hình vuông \(ABCD\));\(\widehat {ADI} = \widehat {CDL}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {CDI}\)) nên chúng bằng nhau.

Suy ra \(DI = DL\)

Tam giác \(DIL\) có hai cạnh bên bằng nhau nên nó là một tam giác cân.

b) Theo câu a) ta có :

\(\dfrac{1}{{D{I^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{L^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}}\)      (1)

Mặt khác, tam giác vuông \(DKL\) có \(DC\) là đường cao ứng với cạnh huyền nên

\(\dfrac{1}{{D{L^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{C^2}}}\)                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\dfrac{1}{{D{I^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{C^2}}}\)

Vì \(DC\) là cạnh của hình vuông \(ABCD\) đã cho nên độ dài của \(DC\) không đổi, tức là \(\dfrac{1}{{D{I^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{C^2}}}\) không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB.\)