Bài 1.14 trang 18 SBT hình học 12

Tính thể tích khối chóp M.AB′C

Phương pháp giải:

- Đổi vị trí đỉnh và đáy của khối chóp, đưa về khối chóp có chiều cao và đáy dễ tính toán.

- Tính thể tích theo công thức $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$.

Giải chi tiết:

Ta có: $V_{M.A{B}^{\prime }C}=V_{B^{\prime }.ACM}$.

$S_{AMC}={\displaystyle \frac{3}{4}}{S}_{ADC}={\displaystyle \frac{3}{4}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}.2a^2={\displaystyle \frac{3a^2}{4}}$

Do đó $V_{M.A{B}^{\prime }C}=V_{B^{\prime }.ACM}={\displaystyle \frac{1}{3}}{B}^{\prime }B.S_{AMC}$$={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{3a^2}{4}}.a={\displaystyle \frac{a^3}{4}}$ 

Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C).

Phương pháp giải:

- Tính diện tích tam giác AB′C.

- Dựa vào thể tích và diện tích của khối chóp M.AB′C suy ra khoảng cách theo công thức$h={\displaystyle \frac{3V}{S}}$.

Giải chi tiết:Gọi h là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C)Khi đó $V_{M.A{B}^{\prime }C}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{A{B}^{\prime }C}.h={\displaystyle \frac{a^3}{4}}$Vì $A{C}^2= B^{\prime }{C}^2=5a^2$ nên tam giác ′$AC{B}^{\prime }$ cân tại $C$. Do đó, đường trung tuyến CI của tam giác $AC{B}^{\prime }$ cũng là đường cao.

Ta có: $C{I}^2= C{A}^2- A{I}^2$$= 5a^2-{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\right)}^2$ $=5a^2-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}={\displaystyle \frac{9a^2}{2}}$

Do đó $CI={\displaystyle \frac{3a}{\sqrt{2}}}$$\Rightarrow S_{A{B}^{\prime }C}={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{3a}{\sqrt{2}}}.a\sqrt{2}={\displaystyle \frac{3a^2}{2}}$$\Rightarrow h={\displaystyle \frac{3V}{S}}={\displaystyle \frac{3a^3}{4}}:{\displaystyle \frac{3a^2}{2}}={\displaystyle \frac{a}{2}}$.