Bài 1.15 trang 19 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB=a,BC=b,AA′=c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A′B′ và B′C′. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D′.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đổi vị trí đỉnh và đáy của khối chóp, đưa về khối chóp có chiều cao và đáy dễ tính toán.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$.

- Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Từ đó suy ra tỉ số.

Lời giải chi tiết

Thể tích khối chóp D′.DMN bằng thể tích khối chóp D.D′MN

Ta có:

$\begin{array}{c}{S}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=A^{\prime }{B}^{\prime }.B^{\prime }{C}^{\prime }=ab\\ S_{D^{\prime }{A}^{\prime }M}=\frac{1}{2}{A}^{\prime }D.A^{\prime }M=\frac{1}{2}.b.\frac{a}{2}=\frac{ab}{4}\\ S_{B^{\prime }MN}=\frac{1}{2}{B}^{\prime }M.B^{\prime }N=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{b}{2}=\frac{ab}{8}\\ S_{D^{\prime }{C}^{\prime }N}=\frac{1}{2}{C}^{\prime }{D}^{\prime }.C^{\prime }N=\frac{1}{2}.a.\frac{b}{2}=\frac{ab}{4}\end{array}$

$S_{D^{\prime }MN}=S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}-\left(S_{D^{\prime }{A}^{\prime }M}+S_{B^{\prime }MN}+S_{D^{\prime }{C}^{\prime }N}\right)$$=ab-\left({\displaystyle \frac{ab}{4}}+{\displaystyle \frac{ab}{8}}+{\displaystyle \frac{ab}{4}}\right)={\displaystyle \frac{3ab}{8}}$

Thể tích khối chóp $V_{D^{\prime }.DMN}=\frac{1}{3}{S}_{D^{\prime }MN}.D{D}^{\prime }$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{3ab}{8}}.c={\displaystyle \frac{abc}{8}}$.

Lại có $V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=abc$ $\Rightarrow {\displaystyle \frac{V_{D^{\prime }.DMN}}{V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$.