Bài 12 trang 85 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Hình thang cân \(ABCD \;(AB // CD)\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\) (h.11). Gọi \(M, N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BD\) và \(AC.\) Cho biết \(MD = 3MO\), đáy lớn \(CD = 5,6cm.\)

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\) và đáy nhỏ \(AB.\)

b) So sánh độ dài đoạn thẳng \(MN\) với nửa hiệu các độ dài của \(CD\) và \(AB.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.

- Định lí đảo của định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh một tam giác và định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. 

Lời giải chi tiết

a) Vì \(ABCD\) là hình thang cân có \(AB // CD \) nên \(AD=BC\); \(AC = BD\) 

Xét \(∆ADC\) và \(∆BCD\) có:

\(AC = BD\) (chứng minh trên)

\(AD = BC\) (chứng minh trên)

\(CD\) cạnh chung

\( \Rightarrow  ∆ADC = ∆BCD\) (c.c.c)

\( \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng)

Hay \(\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\)

Do đó \(\Delta OCD\) cân tại \(O\).

\( \Rightarrow OC = OD \) (tính chất tam giác cân) 

Ta có: \(AC=OA+OC\)

         \(BD=OB+OD\)

Mà \(AC=BD;OC=OD\) nên \(OA = OB\)

Do đó \(MD=NC= \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BD\)

\(OD=MO+MD\)

\(OC=NO+NC\)

Mà \(OD=OC;MD=NC\) nên \(MO=NO\)

Lại có: \(MD = 3MO\) (gt) \(⇒ NC = 3NO\)

Xét \(\Delta OCD\) có \(\displaystyle {{MO} \over {MD}} = {{NO} \over {NC}} = {1 \over 3}\)

Theo định lí đảo của định lí Ta-lét ta có \(MN // CD\). 

Ta có: \(OD = OM + MD = OM + 3OM \)\(\,= 4OM\)

\(\Delta OCD\) có \(MN // CD\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle {{OM} \over {OD}} = {{MN} \over {CD}}\)

\(\displaystyle  \Rightarrow {{MN} \over {CD}} = {{OM} \over {4OM}} = {1 \over 4}\)

\(\displaystyle \Rightarrow MN = {1 \over 4}CD = {1 \over 4}.5,6 = 1,4\) (cm)

Ta có: \(MB = MD\) (vì \(M\) là trung điểm \(BD\))

Suy ra: \(MB = 3OM\) hay \(OB = 2OM\)

\( AB // CD\) (gt), \(MN // CD\) (cmt) suy ra \(MN // AB\).

Xét \(\Delta OAB\) có \(MN // AB\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle{{OM} \over {OB}} = {{MN} \over {AB}}\) 

\( \Rightarrow \displaystyle{{MN} \over {AB}} = {{OM} \over {2OM}} = {1 \over 2}\)

\( \Rightarrow  AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8\) (cm)

b) Ta có: \(\displaystyle{{CD - AB} \over 2} = {{5,6 - 2,8} \over 2} = {{2,8} \over 2}\)\(\, = 1,4\) (cm)

Vậy \(\displaystyle MN = {{CD - AB} \over 2}\).