Câu hỏi 12 - Mục Bài tập trang 95

1. Nội dung câu hỏi

Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính \(AB = 10m\), một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc \(\alpha \left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\), rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi \(S\left( \alpha  \right)\) là quãng đường người đó đã di chuyển.

a) Viết công thức tính \(S\left( \alpha  \right)\) theo \(\alpha \left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\).

b) Xét tính liên tục của hàm số \(y = S\left( \alpha  \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

c) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} S\left( \alpha  \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} S\left( \alpha  \right)\).


2. Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số để tính: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = M\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M\).

 

3. Lời giải chi tiết 

a) Kí hiệu O là tâm hình tròn.

Do tam giác ABC vuông tại C nên \(AC = AB\cos \alpha  = 10\cos \alpha \left( m \right)\)

Ta có: \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2\alpha \) nên độ dài cung BC là: \(l = OB.\widehat {BOC} = 5.2\alpha  = 10\alpha \left( m \right)\)

Quãng đường di chuyển của người đó là:

\(S\left( \alpha  \right) = AC + l = 10\cos \alpha  + 10\alpha  = 10\left( {\cos \alpha  + \alpha } \right)\)(m) \(\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\)

b) Do các hàm số \(y = \alpha ,y = \cos \alpha \) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = S\left( \alpha  \right)\) liên tục trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} S\left( \alpha  \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} 10\left( {\alpha  + \cos \alpha } \right) = 10\left( {\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} \alpha  + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \cos \alpha } \right) = 10\left( {0 + 1} \right) = 10\)

\(\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} S\left( \alpha  \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} 10\left( {\alpha  + \cos \alpha } \right) = 10\left( {\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \alpha  + \mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \cos \alpha } \right) = 10\left( {\frac{\pi }{2} + 0} \right) = 5\pi \).

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey

Chatbot GPT

timi-livechat
Đặt câu hỏi