Bài 14 trang 72 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường thẳng: \(\Delta :3x + 4y - 25 = 0\). Gọi (C) là đường tròn tâm O và tiếp xúc với \(\Delta \).

a) Viết phương trình đường tròn (C) 

b) Tìm toạ độ tiếp điểm H của \(\Delta \) và (C).

Lời giải chi tiết

a) Bán kính của (C) bằng: \(R = d(O,\Delta ) = \frac{{\left| {3.0 + 4.0 - 25} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 5\)

Vậy phương trình đường tròn (C) tâm O(0;0) bán kính R=5 là \({x^2} + {y^2} = 25\)

b) Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc (C) tại điểm H

\(\begin{array}{l} \Rightarrow OH \bot \Delta \\ \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = (3;4)\\ \Rightarrow \overrightarrow {{n_{OH}}}  = ( - 4;3)\end{array}\)

=> Phương trình đường thẳng OH là 4x- 3y= 0

Ta có \(H = OH \cap \Delta \), do đó tọa độ H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 25 = 0\\4x - 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\)

Vậy H(3,4).