Bài 1.5 trang 9 SBT hình học 12

Đề bài

Chứng minh rằng mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định nghĩa hình đa diện:

Hình (H) gồm các hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

+ Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

+ Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Lời giải chi tiết

Gọi $M_1$ là một mặt của hình đa diện(H) chứa ba đỉnh A,B,C.

Khi đó AB,BC là hai cạnh của (H).

Gọi $M_2$ là mặt khác với $M_1$ và có chung cạnh $AB$ với $M_1$.

Khi đó$M_2$ còn có ít nhất một đỉnh D khác với A và B.

Nếu D≡C thì$M_1$ và $M_2$ có hai cạnh chung AB và BC (vô lý).

Vậy D phải khác C. Do đó (H) có ít nhất bốn đỉnh A,B,C,D.

Chú ý:

Có thể lấy ví dụ minh họa như sau:

+ Ba điểm phân biệt bất kì thì chỉ xác định được một mặt phẳng chứ không xác định được một hình đa diện.

+ Bốn điểm không đồng phẳng thì xác định được tình tứ diện nên ta suy ra ngay điều phải chứng minh.