1. Nội dung câu hỏi
Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:
a) \(y = \sin \frac{x}{2} + \cos 3x\);
b) \(y = \cos 5x + \tan \frac{x}{3}\).
2. Phương pháp giải
Bước 1: Tập xác định D.
Bước 2: Chứng minh rằng với mọi \(x \in D\), \(x + T \in D\)và \(f(x + T) = f(x)\).
3. Lời giải chi tiết
a) Hàm số \(f(x) = \sin \frac{x}{2} + \cos 3x\) có tập xác định D
Hàm số \(\sin \frac{x}{2}\) tuần hoàn với chu kì \({T_1} = \frac{{2\pi }}{{1/2}} = 4\pi \).
Hàm số \(\cos 3x\) tuần hoàn với chu kì \({T_2} = \frac{{2\pi }}{3}\).
Ta thấy \(4\pi = 6.\frac{{2\pi }}{3}\). Vậy ta xét sự tuần hoàn của hàm số như sau:
\(\begin{array}{l}f(x + 4\pi ) = \sin \frac{{x + 4\pi }}{2} + \cos 3(x + 4\pi )\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sin \left( {x + 2\pi } \right) + \cos (3x + 12\pi )\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sin \frac{x}{2} + \cos 3x = f(x)\end{array}\)
Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì \(4\pi \).
b) Hàm số \(y = \cos 5x + \tan \frac{x}{3}\) có tập xác định D
Hàm số \(\tan \frac{x}{3}\) tuần hoàn với chu kì \({T_1} = \frac{\pi }{{1/3}} = 3\pi \).
Hàm số \(\cos 5x\) tuần hoàn với chu kì \({T_2} = \frac{{2\pi }}{5}\).
Ta thấy \(6\pi = 3.\frac{{2\pi }}{5}.5\). Vậy ta xét sự tuần hoàn của hàm số như sau:
\(\begin{array}{l}f(x + 6\pi ) = y = \cos 5\left( {x + 6\pi } \right) + \tan \frac{{x + 6\pi }}{3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \cos \left( {5x + 30\pi } \right) + \tan \left( {\frac{x}{3} + 2\pi } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \cos 5x + \tan \frac{x}{3} = f(x)\end{array}\)
Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì \(6\pi \).
Bài giảng ôn luyện kiến thức giữa học kì 2 môn Toán lớp 11
CHƯƠNG I. SỰ ĐIỆN LI
Chủ đề 3. Thực hiện các hoạt động xây dựng và phát triển nhà trường
Chương III. Các phương pháp gia công cơ khí
Bài giảng ôn luyện kiến thức giữa học kì 2 môn Tiếng Anh lớp 11
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11