Bài 1.64 trang 37 SBT giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết:

Tập xác định : D=R

$y^{\prime }=8x^3-8x=8x(x^2-1)$; $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=-1\\ x=0\\ x=1\end{array}$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−1;0) và (1;+∞)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;−1) và (0;1)

Hàm số đạt cực đại tại $x=0;y_{CD}=0$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm 1;y_{CT}=-2$

Giới hạn: $\underset{x\to \pm \infty }{lim}y=+\infty$ 

$y^{″}=24x^2-8;$ $y^{″}=0\iff x^2=\frac{1}{3}\iff x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Đồ thị có hai điểm uốn:  $I_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{3};-\frac{10}{9}\right);$$I_2\left(\frac{\sqrt{3}}{3};-\frac{10}{9}\right)$.Bảng biến thiên:

Đồ thị:

$A(-\sqrt{2};0),O(0;0),B(\sqrt{2};0)$. 

Với giá trị nào của m, phương trình $x^2|x^2-2|=m$ có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

                                                                                                   (Đề thi đại học năm 2009; khối B)

Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình đã cho về $\left|2x^4-4x^2\right|=2m$.

- Dựng đồ thị hàm số $y=\left|2x^4-4x^2\right|$ từ đồ thị hàm số đã vẽ ở ý a:

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox

+ Lấy đối xứng phần dưới qua Ox và xóa phần dưới đi.

- Biện luận số nghiệm dựa vào số giao điểm của đường thẳng y= 2m và đồ thị vừa vẽ được.

Giải chi tiết:

Ta có: $x^2|x^2-2|=m$$\iff 2x^2\left|x^2-2\right|=2m$$\iff \left|2x^2\left(x^2-2\right)\right|=2m$$\iff \left|2x^4-4x^2\right|=2m$

Từ đồ thị hàm số $y=2x^4-4x^2$ có thể suy ra đồ thị của hàm số $y=\left|2x^4-4x^2\right|$ như sau:

Phương trình :$\left|2x^4-4x^2\right|=2m$  có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y=2m giao với đồ thị trên tại 6 điểm phân biệt $\iff 0<2m<2$ $\iff 0<m<1$.Vậy$0<m<1$.