Bài 18 trang 105 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), vẽ đường cao \(AH\). Chu vi của tam giác \(ABH\) là \(30cm\) và chu vi của tam giác \(ACH\) là \(40cm\). Tính chu vi của tam giác \(ABC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\):

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì ta có:

\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}}\)

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{c^2}}}{{{d^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}\) 

Lưu ý: Tỉ số đồng dạng của hai tam giác bằng tỉ số chu vi của hai tam giác đó.

Lời giải chi tiết

Gọi \(a,  b, c\) lần lượt là chu vi của các tam giác \(ABC\), \(ABH\), \(ACH\).

Ta có: \(b = 30cm,c = 40cm.\) 

Xét hai tam giác vuông \(AHB\) và \(CHA\), ta có: 

\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \)

\(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\) (hai góc cùng phụ \(\widehat {ACB}\))

Vậy \(\Delta AHB\) đồng dạng \(\Delta CHA\) (g.g)

Suy ra: \(\dfrac{{HB}}{{HA}} = \dfrac{{HA}}{{HC}}\)\( = \dfrac{{BA}}{{AC}} = \dfrac{{HB + HA + BA} }{{HA + HC + AC}} = \dfrac{b}{c}\)

Suy ra: \(\dfrac{{BA}}{{AC}} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{{30}}{{40}} = \dfrac{3}{4}\)

Suy ra: \(\dfrac{{BA}}{3} = \dfrac{{AC}}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{B{A^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}} = \dfrac{{B{A^2} + A{C^2}}}{{9 + 16}}\)\( = \dfrac{{B{A^2} + A{C^2}}}{{25}}\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) 

Suy ra:

\(\dfrac{{B{A^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}} = \dfrac{{B{C^2}}}{{25}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{BA} }{3} = \dfrac{{AC}}{ 4} = \dfrac{{BC}}{5}\)

Xét hai tam giác vuông \(AHB\) và \(CAB\), ta có: 

\(\widehat {CAB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \)

\(\widehat {C} \) chung

Nên \(\Delta CAB\) đồng dạng \(\Delta CHA\) (g.g)

Suy ra các tam giác \(ABH, CAH, CBA\) đồng dạng với nhau nên:

\(b:c:a = BA:AC:BC = 3:4:5\) 

Suy ra: \(\dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{ 4} = \dfrac{a}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{30}}{3} = \dfrac{{40}}{4} = \dfrac{a}{5}\)\( \Rightarrow a = \dfrac{{30}}{3}.5 = 50\left( {cm} \right)\)