Bài 19 trang 105 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có cạnh \(AB = 6\)cm và \(AC = 8\)cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc \(B\) cắt đường thẳng \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Tính các đoạn thẳng \(AM\) và \(AN\).   

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tính chất đường phân giác:

- Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy. 

Xét tam giác ABC có AM là phân giác của góc trong \(\widehat {BAC}\).

Ta có hệ thức: \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AM}}{{MC}}\)

 - Đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy.

+ Tính chất tỉ lệ thức:

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}.\) 

Lời giải chi tiết

Vì \(BM\) là đường phân giác của góc \(B\) nên ta có:  

\(\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MA + MC}} = \dfrac{{AB}}{{AB + BC}}\) (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: \(MA = \dfrac{{AB.(MA + MC)}}{{AB + BC}}\)\(= \dfrac{{AB.AC}}{{AB + BC}}\)\( = \dfrac{{6.8}}{{6 + 10}} = \dfrac{{48}}{{16}} = 3\left( {cm} \right)\)

Vì \(BM, BN\) lần lượt là đường phân giác của góc  trong và góc ngoài tại đỉnh \(B\) nên ta có: \(BM \bot BN\)

Suy ra tam giác \(BMN\) vuông tại \(B\). 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: \(A{B^2} = AM.AN\)

 Suy ra: \(AN = \dfrac{{A{B^2}}}{{AM}} = \dfrac{{{6^2}}}{ 3} = \dfrac{{36}}{ 3} = 12\left( {cm} \right)\)