Bài 2 trang 155 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$. Các điểm $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,CD$. Gọi $E$ là giao điểm của $AN$ và $DM$, $K$ là giao điểm của $BN$ và $CM$. Hình bình hành $ABCD$ phải có điều kiện gì để tứ giác $MENK$ là:

a) Hình thoi? 

b) Hình chữ nhật?

c) Hình vuông?

Lời giải chi tiết

(h.113)

M, N là trung điểm các cạnh đối AB, CD của hình bình hành ABCD (h.113) nên $AM=MB=DN=NC$

Tứ giác MBND có $MB//DN$ và $MB=DN$ nên là hình bình hành, suy ra $MD//BN$ hay $ME//KN$

Chứng minh tương tự, ta cũng có: $EN//MK$

Tứ giác $MENK$ có  $ME//KN,EN//MK$ nên là hình bình hành. Ta lại có $MN//AD$ (do $AMND$ là hình bình hành), $EK//CD$ (đường trung bình của tam giác $MDC$)

a) Hình bình hành $MENK$ là hình thoi khi và chỉ khi $MN\perp EK\iff CD\perp AD\iff$ hình bình hành $ABCD$ là hình chữ nhật

b) Hình bình hành $MENK$ là hình chữ nhật khi và chỉ khi $MN=EK\iff AD=DN=\frac{1}{2}DC$ (vì $EK$ là đường trung bình của tam giác $MDC$)

c) Hình bình hành $MENK$ là hình vuông  khi và chỉ khi $ABCD$ là hình chữ nhật và $AD=\frac{1}{2}DC$