Bài 2 trang 29

Đề bài

Cho $$ và $$, với $$

a) So sánh $$ và $$; $$ và $$;$$ và $$.

b) Dự đoán công thức tính $$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a) $$; $$

Do đó $$

$$; $$

Do đó $$

$$; $$

Do đó $$

b) Dự doán: $$ từ đó có công thức tính $$

Chứng minh:

Bước 1: Khi $$ ta có $$ đúng

Như vậy đẳng thức đúng với $$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

Suy ra

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $$.