Bài 20 trang 144 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB=2R\), \(Ax\) và \(By\) là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại \(A\) và \(B\). Lấy trên tia \(Ax\) điểm \(M\) rồi vẽ tiếp tuyến \(MP\) cắt \(By\) tại \(N\).

a/ Chứng minh rằng \(MON\) và \(APB\) là hai tam giác vuông đồng dạng.

b/ Chứng minh \(AM.BN = {R^2}.\)

c/ Tính tỉ số \(\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\,khi\,AM = \dfrac{R}{2}.\) 

d/ Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)  Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông

c) Sử dụng: “ Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng”

d) Thể tích hình cầu bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)

Lời giải chi tiết

a) \(MA//NB\) vì \(MA \bot AB\) và \(NB \bot AB.\) 

Nên \(AMNB\) là hình thang \(\widehat M + \widehat N = 180^\circ \,\left( 1 \right)\)

\(\widehat {{M_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat M\) và \(\widehat {{N_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat N\,\,\,\,\,(2)\) theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

\( \Rightarrow \widehat {{N_1}} + \widehat {{M_1}} = 90^\circ ;\) Do đó, \(\widehat {MON} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta MON\) là tam giác vuông.

\(\Delta APB\) có \(\widehat {APB} = 90^\circ \) vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O;\dfrac{{AB}}{2}} \right)\)

Do đó, \(\Delta MON\) và \(\Delta MPO\) là hai tam giác vuông.

Theo tính chất điểm chính giữa cung ta có : \(MO \bot AP\) và \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

\( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{A_1}}\) vì là hai góc cùng phụ với hai góc bằng nhau \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}.\)

Vậy \(\Delta MPO \backsim \Delta MON\) vì tam giác vuông có \(\widehat {{M_1}}\) chung.

b) Xét \(\Delta MAO\) và \(\Delta NBO\) là hai tam giác vuông có \(\widehat {AMO} = \widehat {BON}\) vì cùng bằng \(90^\circ  \Rightarrow \Delta MAO \backsim \Delta OBN.\)

Do đó \(\dfrac{{AM}}{{AO}} = \dfrac{{OB}}{{BN}}\) mà \(AO = OB = R \Rightarrow AM.BN = {R^2}.\)

c) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : \(AM = MP;BN = NP.\)

Từ câu b)  ta có  \(AM.BN = {R^2}\) \( \Rightarrow BN = \dfrac{{{R^2}}}{{AM}}\) \( \Rightarrow MN = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{{5R}}{2}\)

Suy ra \(M{N^2} = \dfrac{{25{R^2}}}{4} \Rightarrow \dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}} = \dfrac{{M{N^2}}}{{A{B^2}}}\)\( = \dfrac{{25}}{{16}}.\)

d) Nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra hình cầu bán kính \(R\)

Vậy \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)